음함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.11절 · 8번

CLP-1 · 2.11절 · 8번우리말 번역

$x^2e^y + 4x\cos(y) = 5$ 이면, $y=0$ 인 점에서 $y'$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

If $x^2e^y + 4x\cos(y) = 5$ , then find $y'$ at the points where $y=0$ .

정답·풀이 보기

먼저 $y=0$ 인 $x$ 좌표를 구한다.

$\begin{aligned} x^2e^0+4x\cos(0) &= 5 \\ x^2 +4x - 5 &=0\\ (x+5)(x-1)&=0 \end{aligned}$

따라서 $x=1,-5$ 이다.

이제 음함수 미분을 이용하여 $y'$ 을 $x,y$ 로 나타내면 다음과 같다.

$\begin{aligned} x^2e^y+4x\cos(y) &= 5 & \text{양변을 미분} \\ x^2 \cdot e^y \cdot y' + 2x e^y + 4x(-\sin(y)) \cdot y' + 4\cos(y) &= 0 \end{aligned}$

이제 $y=0$ 을 대입하면

$\begin{aligned} x^2 \cdot e^0 \cdot y' + 2x e^0 + 4x(-\sin(0)) \cdot y' + 4\cos(0) &= 0 \\ x^2y' + 2x + 4 &=0 \\ y' &= - \frac{4+2x}{x^2}. \end{aligned}$

따라서 $(x,y)=(1,0)$ 에서 $y' = -6$ 이고,
$(x,y)=(-5,0)$ 에서 $y' = \frac{6}{25}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First we find the $x$ -coordinates where $y=0$ .

$\begin{aligned} x^2e^0+4x\cos(0) &= 5 \\ x^2 +4x - 5 &=0\\ (x+5)(x-1)&=0 \end{aligned}$

So $x=1,-5$ .

Now we use implicit differentiation to get $y'$ in terms of $x,y$ :

$\begin{aligned} x^2e^y+4x\cos(y) &= 5 & \text{differentiate both sides} \\ x^2 \cdot e^y \cdot y' + 2x e^y + 4x(-\sin(y)) \cdot y' + 4\cos(y) &= 0 \end{aligned}$

Now set $y=0$ to get

$\begin{aligned} x^2 \cdot e^0 \cdot y' + 2x e^0 + 4x(-\sin(0)) \cdot y' + 4\cos(0) &= 0 \\ x^2y' + 2x + 4 &=0 \\ y' &= - \frac{4+2x}{x^2}. \end{aligned}$

So at $(x,y)=(1,0)$ we have $y' = -6$ ,
and at $(x,y)=(-5,0)$ we have $y' = \frac{6}{25}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.11절 · 9번우리말 번역

$x^2+y^2 = \sin(x+y)$ 일 때 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

방정식을 미분하여 푼다.

$\begin{aligned} 2x + 2y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \cos(x+y) \cdot\left(1 + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\cos(x+y)-2x}{2y-\cos(x+y)} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 음함수의 미분법계산보통자동 분류