음함수의 미분법 연습문제 — APEX · 2.6절 · 26번

APEX · 2.6절 · 26번우리말 번역

다음의 각 음함수로 정의된 함수에 대해 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 가 같음을 보이세요.

(a) $xy=1$ (b) $x^2y^2=1$ (c) $\sin(xy) = 1$ (d) $\ln (xy) =1$

영어 원문 보기

Show that $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ is the same for each of the following implicitly defined functions.

(a) $xy=1$ (b) $x^2y^2=1$ (c) $\sin(xy) = 1$ (d) $\ln (xy) =1$

정답·풀이 보기

각각에서 $\frac{dy}{dx} = -\frac yx$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

In each, $\frac{dy}{dx} = -\frac yx$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.11절 · 1번우리말 번역

$x^2+y^2=1$ 을 음함수 미분하면 $2x+2yy'=0$ 이라는 식을 얻는다. $y^2$ 을 미분하여 $2yy'$ 을 얻는 단계에서 아래의 법칙 중 어느 것(들)을 사용했나요?

(a) 거듭제곱의 미분법 (b) 연쇄 법칙 (c) 몫의 미분법 (d) 지수함수의 도함수

다 풀었으면 정답 확인

거듭제곱의 미분법 (a)과 연쇄 법칙 (b)을 사용한다. 거듭제곱의 미분법에 따라 지수 2를 앞으로 내리고, 연쇄 법칙에 따라 $y'$ 을 곱한다.

여기에는 분수식이 없으므로 몫의 미분법은 필요하지 않다. 지수함수는 $(\text{constant})^{\text{function}}$ 꼴이지만, 주어진 함수는 $(\text{function})^{\text{constant}}$ 꼴이므로 (d)는 사용하지 않았다.

# 음함수의 미분법증명·논술자동 분류