음함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.11절 · 1번

CLP-1 · 2.11절 · 1번우리말 번역

$x^2+y^2=1$ 을 음함수 미분하면 $2x+2yy'=0$ 이라는 식을 얻는다. $y^2$ 을 미분하여 $2yy'$ 을 얻는 단계에서 아래의 법칙 중 어느 것(들)을 사용했나요?

(a) 거듭제곱의 미분법 (b) 연쇄 법칙 (c) 몫의 미분법 (d) 지수함수의 도함수

영어 원문 보기

If we implicitly differentiate $x^2+y^2=1$ , we get the equation $2x+2yy'=0$ . In the step where we differentiate $y^2$ to obtain $2yy'$ , which rule(s) below are we using?

(a) power rule (b) chain rule (c) quotient rule (d) derivatives of exponential functions

정답·풀이 보기

거듭제곱의 미분법 (a)과 연쇄 법칙 (b)을 사용한다. 거듭제곱의 미분법에 따라 지수 2를 앞으로 내리고, 연쇄 법칙에 따라 $y'$ 을 곱한다.

여기에는 분수식이 없으므로 몫의 미분법은 필요하지 않다. 지수함수는 $(\text{constant})^{\text{function}}$ 꼴이지만, 주어진 함수는 $(\text{function})^{\text{constant}}$ 꼴이므로 (d)는 사용하지 않았다.

원본 교재 풀이(영어)

We use the power rule (a) and the chain rule (b): the power rule tells us to “bring down the 2", and the chain rule tells us to multiply by $y'$ .

There is no need for the quotient rule here, as there are no quotients. Exponential functions have the form $(\text{constant})^{\text{function}}$ , but our function has the form $(\text{function})^{\text{constant}}$ , so we did not use (d).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.11절 · 2번우리말 번역

아래 그림을 이용하여, 곡선이 $y$ 축과 만나는 세 점에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 의 값을 어림하세요.

참고: 이 곡선에서는 하나의 $x$ 의 값에 여러 개의 $y$ 의 값이 대응할 수 있다. 따라서 이 곡선은 어떤 함수 $x$ 에 대해서도 $y=f(x)$ 로 나타낼 수 없다. 이는 음함수 미분을 사용할 수 있는 대표적인 경우 중 하나이다.

다 풀었으면 정답 확인

$(0,4)$ 와 $(0,-4)$ 에서는 곡선을 확대해 보면 수평으로 보이므로, 이 점에서의 접선의 미분계수는 0이다. 원점에서는 접선이 수직으로 보이므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 는 존재하지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 음함수의 미분법계산기본자동 분류