관련 변화율

주어진 정보를 이용하여 아래와 같은 그림을 그린다.

그림과 같이 도르래에서 배의 뱃머리 높이까지의 수직 높이는 $5$ 이고, 도르래에서 뱃머리까지의 밧줄 길이를 $z$, 부두에서 뱃머리까지의 수평 거리를 $x$ 라 하자.

밧줄을 초당 $2$ 피트의 비율로 끌어당기므로 $\frac{dz}{dt} = -2$ 피트/초이다. 뱃머리에서 도르래까지의 밧줄 길이가 13피트일 때 배가 얼마나 빠르게 부두에 가까워지는지 알고 싶으므로 $\left. \frac{dx}{dt} \right|_{z=13}$ 을 구해야 한다. 따라서 변하는 두 양 $z$ 와 $x$ 사이의 관계를 세워야 한다.

밧줄, (수직으로 연장한) 기둥, 그리고 뱃머리에서 기둥까지의 수평 거리는 언제나 직각삼각형을 이루므로

$$x^2 + 5^2 = z^2\,.$$ 이제 $z$ 와 $x$ 의 관계를 얻었으므로 이 등식의 양변을 $t$ 에 대해 미분한다. 연쇄 법칙에 의해

$$2x \frac{dx}{dt} = 2z \frac{dz}{dt}\,.$$ $z = 13$ 인 순간에는 $x^2 + 5^2 = 13^2$ 이므로 $x = 12$ 이다. $z = 13$ 인 순간의 주어진 정보를 모두 이용하면 ($\frac{dz}{dt} = -2$ 포함),

$$2(12) \left. \frac{dx}{dt} \right|_{z = 13} = 2(13)(-2)\,.$$ $\left. \frac{dx}{dt} \right|_{z = 13}$ 에 대해 풀면

$$\left. \frac{dx}{dt} \right|_{z = 13} = -\frac{13}{6}$$

피트/초이다. 따라서 배는 초당 $\frac{13}{6} \approx 2.167$ 피트의 비율로 부두에 가까워지고 있다.