직선과 평면의 방정식 연습문제 — APEX · 10.6절 · 31번

APEX · 10.6절 · 31번대학 수준우리말 번역

점 $Q$ 가 평면 위에 있으면 거리 공식이 점과 평면 사이의 거리를 올바르게 $0$ 으로 준다는 것을 보이세요.

영어 원문 보기

Show why if the point $Q$ lies in a plane, then the distance formula correctly gives the distance from the point to the plane as $0$ .

정답·풀이 보기

$P$ 가 평면 위의 임의의 점이고 $Q$ 도 평면 위에 있으면, $\overrightarrow{PQ}$ 는 평면과 평행하고 법선벡터 $\vec n$ 과 수직이다. 따라서 $\vec n\cdot \overrightarrow{PQ}=0$ 이므로 거리는 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

If $P$ is any point in the plane, and $Q$ is also in the plane, then $\overrightarrow{PQ}$ lies parallel to the plane and is orthogonal to $\vec n$ , the normal vector. Thus $\vec n\cdot \overrightarrow{PQ}=0$ , giving the distance as 0.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 14번우리말 번역

두 평면 $x+y+z=3,\ x+y+z=9$ 를 접평면으로 갖고, 중심이 평면 $2x-y=0,\ 3x-z=0$ 위에 있는 구의 방정식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

두 평면 $x+y+z=3$ 과 $x+y+z=9$ 는 평행하다. 중심은 두 평면의 한가운데에 있는 평면 $x+y+z=6$ 위에 있어야 한다. 따라서 중심은 $x+y+z=6$ , $2x-y=0$ , $3x-z=0$ 위에 있다. 이 세 식을 풀면, 즉

$y=2x,\ z=3x,\ x+y+z=6x=6$

에서 중심은 $(1,2,3)$ 이다. $(1,1,1)$ 은 $x+y+z=3$ 위의 점이다. $(3,3,3)$ 은 $x+y+z=9$ 위의 점이다. 따라서 $\left< 2,2,2\right>$ 는 시점이 $x+y+z=3$ 위에 있고 종점이 $x+y+z=9$ 위에 있는 벡터이다. 또한 $\left< 2,2,2\right>$ 는 두 평면에 수직이다. 그러므로 두 평면 사이의 거리는 $|\left< 2,2,2\right>|=2\sqrt{3}$ 이고 구의 반지름은 $\sqrt{3}$ 이다. 구의 방정식은

$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=3$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류