직선과 평면의 방정식 연습문제 — CLP-3 · 1.4절 · 14번

CLP-3 · 1.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

두 평면 $x+y+z=3,\ x+y+z=9$ 를 접평면으로 갖고, 중심이 평면 $2x-y=0,\ 3x-z=0$ 위에 있는 구의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the equation of the sphere which has the two planes $x+y+z=3,\ x+y+z=9$ as tangent planes if the center of the sphere is on the planes $2x-y=0,\ 3x-z=0$ .

정답·풀이 보기

두 평면 $x+y+z=3$ 과 $x+y+z=9$ 는 평행하다. 중심은 두 평면의 한가운데에 있는 평면 $x+y+z=6$ 위에 있어야 한다. 따라서 중심은 $x+y+z=6$ , $2x-y=0$ , $3x-z=0$ 위에 있다. 이 세 식을 풀면, 즉

$y=2x,\ z=3x,\ x+y+z=6x=6$

에서 중심은 $(1,2,3)$ 이다. $(1,1,1)$ 은 $x+y+z=3$ 위의 점이다. $(3,3,3)$ 은 $x+y+z=9$ 위의 점이다. 따라서 $\left< 2,2,2\right>$ 는 시점이 $x+y+z=3$ 위에 있고 종점이 $x+y+z=9$ 위에 있는 벡터이다. 또한 $\left< 2,2,2\right>$ 는 두 평면에 수직이다. 그러므로 두 평면 사이의 거리는 $|\left< 2,2,2\right>|=2\sqrt{3}$ 이고 구의 반지름은 $\sqrt{3}$ 이다. 구의 방정식은

$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=3$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The two planes $x+y+z=3$ and $x+y+z=9$ are parallel. The centre must be on the plane $x+y+z=6$ half way between them. So, the center is on $x+y+z=6$ , $2x-y=0$ and $3x-z=0$ . Solving these three equations, or equvalently,

$y=2x,\ z=3x,\ x+y+z=6x=6$

gives $(1,2,3)$ as the centre. $(1,1,1)$ is a point on $x+y+z=3$ . $(3,3,3)$ is a point on $x+y+z=9$ . So $\left< 2,2,2\right>$ is a vector with tail on $x+y+z=3$ and head on $x+y+z=9$ . Furthermore $\left< 2,2,2\right>$ is perpendicular to the two planes. So the distance between the planes is $|\left< 2,2,2\right>|=2\sqrt{3}$ and the radius of the sphere is $\sqrt{3}$ . The sphere is

$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=3$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 15번우리말 번역

점 $(-2,0,1)$ 을 지나고 $2x+3y-z=0,\ x-4y+2z=-5$ 의 교선을 지나는 평면의 방정식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$y=0$ 으로 놓고 $2x+3y-z=0,\ x-4y+2z=-5$ 를 풀면, 즉 $2x-z=0$ , $x+2z=-5$ , 또는 이와 동치로

$z=2x,\ x+2z=5x=-5$

그 결과 $(-1,0,-2)$ 는 평면 위의 한 점이다. $y=5$ 로 놓고 $2x+3y-z=0,\ x-4y+2z=-5$ 를 풀면, 즉 $2x+15-z=0$ , $x-20+2z=-5$ , 또는 이와 동치로

$z=2x+15,\ x-20+4x+30=-5$

그 결과 $(-3,5,9)$ 는 평면 위의 또 다른 점이다. 따라서 평면 위의 세 점은 $(-2,0,1), \ (-1,0,-2)$ , $(-3,5,9)$ 이다. $\left< -2+1\,,\,0-0\,,\, 1+2 \right>=\left< -1,0,3\right>$ 과 $\left< -2+3\,,\,0-5\,,\, 1-9 \right> = \left< 1,-5,-8\right>$ 은 머리와 꼬리가 모두 평면 위에 있는 두 벡터이다.

$\begin{aligned} \left< -1,0,3\right> \times \left< 1,-5,-8\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -1 & 0 & 3 \\ 1 & -5 & -8 \end{matrix}\right] =\left< 15 , -5 ,5 \right> \end{aligned}$

은 평면에 수직인 벡터이다. $\frac{1}{5}\left< 15 , -5 ,5 \right>=\left< 3,-1,1\right>$ 도 평면에 수직인 벡터이다. 따라서 평면의 방정식은

$3(x+1) -(y-0) + (z+2)=0\quad\text{또는}\quad 3x-y+z=-5$

이 문제로 이어서 풀기

# 직선과 평면의 방정식계산도전자동 분류