벡터함수의 미분과 적분 연습문제 — APEX · 11.2절 · 3번

APEX · 11.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

일반적으로 $\vec r(t)$ 와 $\vec r\,'(t)$ 의 그래프를 같은 좌표축에 함께 그리는 것이 유용하지 않은 이유는 무엇입니까?

영어 원문 보기

Why is it generally not useful to graph both $\vec r(t)$ and $\vec r\,'(t)$ on the same axes?

정답·풀이 보기

$\vec r(t)$ 의 그래프와 $\vec r\,'(t)$ 의 그래프에서 서로 대응하는 점을 찾아내기 어렵기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

It is difficult to identify the points on the graphs of $\vec r(t)$ and $\vec r\,'(t)$ that correspond to each other.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.1절 · 21번우리말 번역

$\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big)$ , $t\ge 0$ 라 하자. 시각 $t$ 까지의 곡선의 길이 $s(t$ )를 구하세요.

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$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}$

이므로 곡선의 길이는

$\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터함수의 미분과 적분개념 확인자동 분류