곡면의 넓이 연습문제 — APEX · 13.5절 · 5번

APEX · 13.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

어떤 실수 $h$ 에 대해 $z=f(x,y)$ 와 $z=g(x,y)=f(x,y)+h$ 가 영역 $R$ 위에서 같은 겉넓이를 갖는 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why do $z=f(x,y)$ and $z=g(x,y)=f(x,y)+h$ , for some real number $h$ , have the same surface area over a region $R$ ?

정답·풀이 보기

직관적으로, $f$ 에 $h$ 를 더하면 $f$ 가 위로(즉, $z$ 축에 평행하게) 이동할 뿐 모양은 변하지 않는다. 따라서 $R$ 위에서의 겉넓이도 변하지 않는다.

해석적으로, $f_x = g_x$ 이고 $f_y=g_y$ 이므로 두 곡면의 겉넓이는 서로 똑같은 이중적분으로 계산된다.

원본 교재 풀이(영어)

Intuitively, adding $h$ to $f$ only shifts $f$ up (i.e., parallel to the $z$ -axis) and does not change its shape. Therefore it will not change the surface area over $R$ .

Analytically, $f_x = g_x$ and $f_y=g_y$ ; therefore, the surface area of each is computed with identical double integrals.

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 13.5절 · 6번우리말 번역

$z=f(x,y)$ 와 $z=g(x,y)=2f(x,y)$ 가 있다고 하자. 영역 $R$ 위에서 $g$ 의 겉넓이가 $R$ 위에서 $f$ 의 겉넓이의 두 배가 아닌 이유는 무엇인가요?

다 풀었으면 정답 확인

해석적으로, $g_x = 2f_x$ 이고 $g_y=2f_y$ 이다. $R$ 위에서 $f$ 의 겉넓이를 계산하는 이중적분은 $\displaystyle \iint_R \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\ dA$ 이고, $R$ 위에서 $g$ 의 겉넓이를 계산하는 이중적분은 $\displaystyle \iint_R\sqrt{1+4f_x^2+4f_y^2}\ dA$ 이며, 이는 $f$ 의 겉넓이를 계산하는 데 쓰인 이중적분의 두 배가 아니다.

이 문제로 이어서 풀기

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