빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

매개변수 곡면

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

APEX · 14.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

방향을 줄 수 없는 곡면의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a non-orientable surface.

정답·풀이 보기

가능한 답은 많으며, 교재에서 든 예는 뫼비우스 띠이다.

원본 교재 풀이(영어)

Many possible answers exist; the one given by the book is the Mobius band.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 3.1절 · 3번우리말 번역

SS 를 쌍곡면 x2+y2−2z2=1x^2 + y^2 - 2z^2 = 1 의 일부로서 원기둥 x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 의 내부에 있고 평면 z=1z = 1 의 위쪽에 있는 부분이라고 하자 (즉, z≥1z \ge 1 인 부분).

다음 중 SS 의 매개변수화인 것을 모두 고르세요.

(a) 벡터함수

r(u,v)=u ı^+v ȷ^+u2+v2−12 k^\mathbf{r}(u,v) = u\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{\sqrt{u^2+v^2-1}}{\sqrt{2}}\,\hat{\mathbf{k}}

이고 정의역은 D={ (u,v) ∣ 2≤u2+v2≤9 }D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 2 \le u^2+v^2 \le 9\ \big\} 이다. (b) 벡터함수

r(u,v)=usin⁡v ı^−ucos⁡v ȷ^+u22−12 k^\mathbf{r}(u,v) = u\sin v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - u\cos v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}\,\hat{\mathbf{k}}

이고 정의역은 D={ (u,v) ∣ 3≤u≤3, 0≤v≤2π }D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ \sqrt{3} \le u\le 3,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\} 이다. (c) 벡터함수

r(u,v)=1+2v2cos⁡u ı^+1+2v2sin⁡u ȷ^+v k^\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{1+2v^2}\cos u\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sqrt{1+2v^2} \sin u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +v\,\hat{\mathbf{k}}

이고 정의역은 D={ (u,v) ∣ 0≤u≤2π, 1≤v≤2 }D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 0\le u\le 2\pi,\ 1\le v\le 2\ \big\} 이다. (d) 벡터함수

r(u,v)=1+usin⁡v ı^+1+ucos⁡v ȷ^+u2 k^\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{1+u}\sin v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sqrt{1+u} \cos v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{\frac{u}{2}}\,\hat{\mathbf{k}}

이고 정의역은 D={ (u,v) ∣ 2≤u≤8, 0≤v≤2π }D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 2\le u\le 8,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\} 이다. (e) 벡터함수

r(u,v)=ucos⁡v ı^−usin⁡v ȷ^+u+12 k^\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{u}\cos v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \sqrt{u} \sin v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{\sqrt{u+1}}{\sqrt{2}}\,\hat{\mathbf{k}}

이고 정의역은 D={ (u,v) ∣ 3≤u≤9, 0≤v≤2π }D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 3\le u\le 9,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\} 이다.

답 쓰고 채점
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
다 풀었으면 정답 확인

SS 위에서 x2+y2=1+2z2x^2+y^2=1+2z^2 이므로, 조건 z≥1z\ge 1 은 x2+y2≥3x^2+y^2\ge 3, z≥0z\ge 0 과 같다. 따라서 이 쌍곡면은 { (x,y,z) ∣ x2+y2=1+2z2, 3≤x2+y2≤9,z≥0 }\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=1+2z^2,\ 3\le x^2+y^2\le 9, z\ge 0\ \big\} 이다.

(a) 아니요. 이 매개변수화에서 조건 3≤x2+y2≤93\le x^2+y^2\le 9 는 3≤u2+v2≤93\le u^2+v^2\le 9 가 되므로, 2≤u2+v2≤92\le u^2+v^2\le 9 가 아니다.

(b) 예. 이 매개변수화에서 x=usin⁡vx=u\sin v, y=−ucos⁡vy=-u\cos v, z=u22−12z=\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}} 이다. 따라서

  • x2+y2−2z2=u2−2(u22−12)=1x^2+y^2-2z^2 = u^2-2\left(\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}\right) = 1 이므로 바라던 식이 성립한다.
  • u≥0u\ge 0 이므로 조건 x2+y2≤9x^2+y^2\le 9 는 u≤3u\le 3 과 같다.
  • u≥0u\ge 0 이므로 조건 x2+y2≥3x^2+y^2\ge 3 은 u≥3u\ge\sqrt{3} 과 같다.
  • z=u22−12≥0z=\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}\ge 0

(c) 예. 이 매개변수화에서 x=1+2v2cos⁡ux=\sqrt{1+2v^2}\cos u, y=1+2v2sin⁡uy=\sqrt{1+2v^2}\sin u, z=vz=v 이다. 따라서

  • x2+y2−2z2=1+2v2−2v2=1x^2+y^2-2z^2 = 1+2v^2 -2v^2 = 1 이므로 원하는 대로 된다.
  • 조건 x2+y2≤9x^2+y^2\le 9 는 1+2v2≤91+2v^2\le 9 와 같고, v≥0v\ge 0 이므로 이는 v≤2v\le 2 와 같다.
  • 조건 x2+y2≥3x^2+y^2\ge 3 은 1+2v2≥31+2v^2\ge 3 과 같고, v≥0v\ge 0 이므로 이는 v≥1v\ge 1 과 같다.
  • z=v≥0z=v\ge 0

(d) 예. 이 매개변수화에서 x=1+usin⁡vx=\sqrt{1+u}\sin v, y=1+ucos⁡vy=\sqrt{1+u}\cos v, z=u/2z=\sqrt{u/2} 이다. 따라서

  • x2+y2−2z2=1+u−2(u/2)=1x^2+y^2-2z^2 = 1+u -2(u/2) = 1 이므로 원하는 대로 된다.
  • 조건 x2+y2≤9x^2+y^2\le 9 는 1+u≤91+u\le 9 와 같고, 이는 u≤8u\le 8 과 같다.
  • 조건 x2+y2≥3x^2+y^2\ge 3 은 1+u≥31+u\ge 3 과 같고, 이는 u≥2u\ge 2 와 같다.
  • z=u/2≥0z=\sqrt{u/2}\ge 0

(e) 아니요. 이 매개변수화에서 x=ucos⁡vx=\sqrt{u}\cos v, y=−usin⁡vy=-\sqrt{u}\sin v, z=(u+1)/2z=\sqrt{(u+1)/2} 이다. 따라서

  • x2+y2−2z2=u−2(u+1)/2=−1x^2+y^2-2z^2 = u -2(u+1)/2 = -1 이며, +1+1 이 아니다.
이 문제로 이어서 풀기
# 매개변수 곡면개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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