매개변수 곡면 연습문제 — CLP-4 · 3.1절 · 3번

CLP-4 · 3.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

$S$ 를 쌍곡면 $x^2 + y^2 - 2z^2 = 1$ 의 일부로서 원기둥 $x^2 + y^2 = 9$ 의 내부에 있고 평면 $z = 1$ 의 위쪽에 있는 부분이라고 하자 (즉, $z \ge 1$ 인 부분).

다음 중 $S$ 의 매개변수화인 것을 모두 고르세요.

(a) 벡터함수

$\mathbf{r}(u,v) = u\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{\sqrt{u^2+v^2-1}}{\sqrt{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

이고 정의역은 $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 2 \le u^2+v^2 \le 9\ \big\}$ 이다. (b) 벡터함수

$\mathbf{r}(u,v) = u\sin v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - u\cos v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

이고 정의역은 $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ \sqrt{3} \le u\le 3,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\}$ 이다. (c) 벡터함수

$\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{1+2v^2}\cos u\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sqrt{1+2v^2} \sin u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +v\,\hat{\mathbf{k}}$

이고 정의역은 $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 0\le u\le 2\pi,\ 1\le v\le 2\ \big\}$ 이다. (d) 벡터함수

$\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{1+u}\sin v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sqrt{1+u} \cos v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{\frac{u}{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

이고 정의역은 $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 2\le u\le 8,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\}$ 이다. (e) 벡터함수

$\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{u}\cos v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \sqrt{u} \sin v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{\sqrt{u+1}}{\sqrt{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

이고 정의역은 $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 3\le u\le 9,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\}$ 이다.

영어 원문 보기

Suppose $S$ is the part of the hyperboloid $x^2 + y^2 - 2z^2 = 1$ that lies inside the cylinder $x^2 + y^2 = 9$ and above the plane $z = 1$ (i.e. for which $z \ge 1$ ).

Which of the following are parameterizations of $S$ ?

(a) The vector function

$\mathbf{r}(u,v) = u\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{\sqrt{u^2+v^2-1}}{\sqrt{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

with domain $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 2 \le u^2+v^2 \le 9\ \big\}$ . (b) The vector function

$\mathbf{r}(u,v) = u\sin v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - u\cos v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

with domain $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ \sqrt{3} \le u\le 3,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\}$ . (c) The vector function

$\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{1+2v^2}\cos u\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sqrt{1+2v^2} \sin u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +v\,\hat{\mathbf{k}}$

with domain $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 0\le u\le 2\pi,\ 1\le v\le 2\ \big\}$ . (d) The vector function

$\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{1+u}\sin v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sqrt{1+u} \cos v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{\frac{u}{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

with domain $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 2\le u\le 8,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\}$ . (e) The vector function

$\mathbf{r}(u,v) = \sqrt{u}\cos v\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \sqrt{u} \sin v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{\sqrt{u+1}}{\sqrt{2}}\,\hat{\mathbf{k}}$

with domain $D=\big\{ \ (u,v)\ \big|\ 3\le u\le 9,\ 0\le v\le 2\pi\ \big\}$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

정답·풀이 보기

$S$ 위에서 $x^2+y^2=1+2z^2$ 이므로, 조건 $z\ge 1$ 은 $x^2+y^2\ge 3$ , $z\ge 0$ 과 같다. 따라서 이 쌍곡면은 $\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=1+2z^2,\ 3\le x^2+y^2\le 9, z\ge 0\ \big\}$ 이다.

(a) 아니요. 이 매개변수화에서 조건 $3\le x^2+y^2\le 9$ 는 $3\le u^2+v^2\le 9$ 가 되므로, $2\le u^2+v^2\le 9$ 가 아니다.

(b) 예. 이 매개변수화에서 $x=u\sin v$ , $y=-u\cos v$ , $z=\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}$ 이다. 따라서

$x^2+y^2-2z^2 = u^2-2\left(\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}\right) = 1$ 이므로 바라던 식이 성립한다.
$u\ge 0$ 이므로 조건 $x^2+y^2\le 9$ 는 $u\le 3$ 과 같다.
$u\ge 0$ 이므로 조건 $x^2+y^2\ge 3$ 은 $u\ge\sqrt{3}$ 과 같다.
$z=\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}\ge 0$

$x^2+y^2-2z^2 = 1+2v^2 -2v^2 = 1$ 이므로 원하는 대로 된다.
조건 $x^2+y^2\le 9$ 는 $1+2v^2\le 9$ 와 같고, $v\ge 0$ 이므로 이는 $v\le 2$ 와 같다.
조건 $x^2+y^2\ge 3$ 은 $1+2v^2\ge 3$ 과 같고, $v\ge 0$ 이므로 이는 $v\ge 1$ 과 같다.
$z=v\ge 0$

(d) 예. 이 매개변수화에서 $x=\sqrt{1+u}\sin v$ , $y=\sqrt{1+u}\cos v$ , $z=\sqrt{u/2}$ 이다. 따라서

$x^2+y^2-2z^2 = 1+u -2(u/2) = 1$ 이므로 원하는 대로 된다.
조건 $x^2+y^2\le 9$ 는 $1+u\le 9$ 와 같고, 이는 $u\le 8$ 과 같다.
조건 $x^2+y^2\ge 3$ 은 $1+u\ge 3$ 과 같고, 이는 $u\ge 2$ 와 같다.
$z=\sqrt{u/2}\ge 0$

(e) 아니요. 이 매개변수화에서 $x=\sqrt{u}\cos v$ , $y=-\sqrt{u}\sin v$ , $z=\sqrt{(u+1)/2}$ 이다. 따라서

$x^2+y^2-2z^2 = u -2(u+1)/2 = -1$ 이며, $+1$ 이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

Note that, since $x^2+y^2=1+2z^2$ on $S$ , the condition $z\ge 1$ is equivalent to $x^2+y^2\ge 3$ , $z\ge 0$ . So the hyperboloid is $\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=1+2z^2,\ 3\le x^2+y^2\le 9, z\ge 0\ \big\}$ .

(a) No. Under this parametrization, the condition $3\le x^2+y^2\le 9$ is $3\le u^2+v^2\le 9$ , not $2\le u^2+v^2\le 9$ .

(b) Yes. Under this parametrization, $x=u\sin v$ , $y=-u\cos v$ and $z=\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}$ . So

$x^2+y^2-2z^2 = u^2-2\left(\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}\right) = 1$ , as desired.
The condition $x^2+y^2\le 9$ is equivalent to $u\le 3$ , since $u\ge 0$ .
The condition $x^2+y^2\ge 3$ is equivalent to $u\ge\sqrt{3}$ , since $u\ge 0$ .
$z=\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}\ge 0$

$x^2+y^2-2z^2 = 1+2v^2 -2v^2 = 1$ , as desired.
The condition $x^2+y^2\le 9$ is equivalent to $1+2v^2\le 9$ , which is equivalent to $v\le 2$ , since $v\ge 0$ .
The condition $x^2+y^2\ge 3$ is equivalent to $1+2v^2\ge 3$ , which is equivalent to $v\ge 1$ , since $v\ge 0$ .
$z=v\ge 0$

(d) Yes. Under this parametrization, $x=\sqrt{1+u}\sin v$ , $y=\sqrt{1+u}\cos v$ and $z=\sqrt{u/2}$ . So

$x^2+y^2-2z^2 = 1+u -2(u/2) = 1$ , as desired.
The condition $x^2+y^2\le 9$ is equivalent to $1+u\le 9$ , which is equivalent to $u\le 8$ .
The condition $x^2+y^2\ge 3$ is equivalent to $1+u\ge 3$ , which is equivalent to $u\ge 2$ .
$z=\sqrt{u/2}\ge 0$

(e) No. Under this parametrization, $x=\sqrt{u}\cos v$ , $y=-\sqrt{u}\sin v$ and $z=\sqrt{(u+1)/2}$ . So

$x^2+y^2-2z^2 = u -2(u+1)/2 = -1$ , not $+1$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 3.1절 · 2번우리말 번역

$S$ 를 다음과 같이 주어진 곡면이라 하자.

$\mathbf{r}(u, v) = \big( u + v\,,\, u^2 + v^2 \,,\, u - v\big),\qquad -2 \le u \le 2,\ -2 \le v \le 2$

이 곡면은 여러분이 잘 아는 곡면이다. 이 곡면은 무엇인가요? (다음 중 한 곡면의 일부분일 수도 있다.)

구 나선면 타원면 안장면 포물면 그릇 모양 곡면 원기둥 원뿔 평면

다 풀었으면 정답 확인

주어진 매개화는

$\begin{aligned} x(u,v) &= u+v \\ y(u,v) &= u^2+v^2 \\ z(u,v) &= u-v \end{aligned}$

이다.

$x(u,v)$ 와 $z(u,v)$ 를 더하면 $x(u,v)+z(u,v) = 2u$ 이다.
$x(u,v)$ 에서 $z(u,v)$ 를 빼면 $x(u,v)-z(u,v) = 2v$ 이다.

따라서 $u=\frac{1}{2}\big(x(u,v)+z(u,v)\big)$ 이고 $v=\frac{1}{2}\big(x(u,v)-z(u,v)\big)$ 이다. 그러므로 이 곡면 위에서

$\begin{aligned} y(u,v) &= u^2+v^2 = \frac{1}{4}\big(x(u,v)+z(u,v)\big)^2 +\frac{1}{4}\big(x(u,v)-z(u,v)\big)^2 \\ &= \frac{1}{2} x(u,v)^2 + \frac{1}{2} z(u,v)^2 \end{aligned}$

이다.

이 곡면의 모든 점은 $2y= x^2+z^2$ 위에 있다. 이것은 포물면 그릇 모양 곡면이다.

$y<0$ 인 점은 없고
$y=Y$ ( $Y> 0$ ) 인 단면은 원 $x^2+z^2=2Y$ , $y=Y$ 이다.
$x=0$ 인 단면은 포물선 $2y=z^2$ , $x=0$ 이다.
$z=0$ 인 단면은 포물선 $2y=x^2$ , $z=0$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 매개변수 곡면계산보통자동 분류