지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.10절 · 1번

CLP-1 · 2.10절 · 1번우리말 번역

소리의 음량(데시벨, dB)은 다음 공식으로 주어진다. $V(P)=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right)$ 여기서 $P$ 는 소리의 세기이고 $S$ 는 기준이 되는 표준 소리의 세기이다. (즉, $S$ 는 어떤 상수이다.)

각 스피커가 3dB의 소음을 낸다면, 스피커 열 개는 얼마만큼의 소음을 내는지 구하세요. 스피커 백 개라면 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

The volume in decibels (dB) of a sound is given by the formula: $V(P)=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right)$ where $P$ is the intensity of the sound and $S$ is the intensity of a standard baseline sound. (That is: $S$ is some constant.)

How much noise will ten speakers make, if each speaker produces 3dB of noise? What about one hundred speakers?

정답·풀이 보기

스피커 한 개가 3dB를 낸다고 주어져 있다. 따라서 $P$ 를 스피커 한 개의 출력이라 하면,

$\begin{aligned}3=V(P)&=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right). \\ \text{따라서 스피커 열 개일 때:} \\ V(10P)&=10\log_{10}\left(\frac{10P}{S}\right)=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right)+10\log_{10}\left(10\right)\\ &=3+10(1)=13 \mathrm{dB} \\ \text{그리고 스피커 백 개일 때:} \\ V(100P)&=10\log_{10}\left(\frac{100P}{S}\right)=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right)+10\log_{10}\left(100\right)\\ &=3+10(2)=23 \mathrm{dB} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We are given that one speaker produces 3dB. So if $P$ is the power of one speaker,

$\begin{aligned}3=V(P)&=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right). \\ \text{So, for ten speakers:} \\ V(10P)&=10\log_{10}\left(\frac{10P}{S}\right)=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right)+10\log_{10}\left(10\right)\\ &=3+10(1)=13 \mathrm{dB} \\ \text{and for one hundred speakers:} \\ V(100P)&=10\log_{10}\left(\frac{100P}{S}\right)=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right)+10\log_{10}\left(100\right)\\ &=3+10(2)=23 \mathrm{dB} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.10절 · 3번우리말 번역

다음 식 중 $\log\left(\cos^2 x\right)$ 와 같은 것이 있다면 모두 고르세요. $(\text{a})~ 2\log(\cos x) \qquad (\text{b})~ 2\log|\cos x | \qquad (\text{c})~ \log^2(\cos x) \qquad (\text{d})~\log(\cos x^2))$

다 풀었으면 정답 확인

로그의 성질에 따르면 $y$ 가 양수일 때 $\log (y^2)=2\log y$ 이다. 그러나 $\cos x$ 는 항상 양의 값을 갖는 것은 아니므로 (a)는 옳지 않다. (예를 들어 $x=\pi$ 일 때, $\log(\cos^2 x)=\log(\cos^2\pi)=\log\left((-1)^2\right) = \log(1)=0$ 이지만, $2\log (\cos \pi)=2\log(-1)$ 은 존재하지 않는다.)

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분계산기본자동 분류