지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.10절 · 10번

CLP-1 · 2.10절 · 10번우리말 번역

함수 $f(x)=e^{\cos\left(\log x\right)}$ 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate the function $f(x)=e^{\cos\left(\log x\right)}$ .

정답·풀이 보기

먼저 연쇄 법칙을 적용하자.

$\begin{aligned} f'(x) &= e^{ \cos\left(\log x\right)} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \cos\left( \log x \right)\right\} \\ \text{연쇄 법칙이 다시 필요하다:} \\ &= e^{\cos\left(\log x\right)} (-\sin( \log x)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \log x \}\\ &= e^{\cos\left(\log x\right)} (-\sin(\log x)) \cdot \frac{1}{x}\\ &=\frac{-e^{\cos(\log x)}\sin(\log x)}{x} \end{aligned}$

참고: 지수에 로그가 있지만 약분할 수는 없다. 식 $e^{\cos (\log x)}$ 은 식 $x^{\cos x}$ 또는 $\cos x$ 와 같지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's start in with the chain rule.

$\begin{aligned} f'(x) &= e^{ \cos\left(\log x\right)} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \cos\left( \log x \right)\right\} \\ \text{We'll need the chain rule again:} \\ &= e^{\cos\left(\log x\right)} (-\sin( \log x)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \log x \}\\ &= e^{\cos\left(\log x\right)} (-\sin(\log x)) \cdot \frac{1}{x}\\ &=\frac{-e^{\cos(\log x)}\sin(\log x)}{x} \end{aligned}$

Remark: Although we have a logarithm in the exponent, we can't cancel. The expression $e^{\cos (\log x)}$ is not the same as the expression $x^{\cos x}$ , or $\cos x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.10절 · 29번우리말 번역

$f(x)= (3+\sin(x))^{x^2-3}$ 을 미분하세요.

다 풀었으면 정답 확인

로그미분법을 사용한다. 따라서 함수를 바꾸어 다음을 생각한다.

$\begin{aligned} \log f(x) &= (x^2-3)\cdot \log(3+\sin(x))\,. \\ \text{미분하면:} \\ \frac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{(x^2-3)\cdot \log(3+\sin(x)) \right\}\\ &=2x\log(3+\sin(x)) + (x^2-3)\frac{\cos(x)}{3+\sin(x)} \\ \text{마지막으로 $f'(x)$ 에 대해 풀면:} \\ f'(x)&= f(x)\cdot \left[ 2x\log(3+\sin(x)) + \frac{(x^2-3)\cos(x)}{3+\sin(x)}\right]\\ &= (3+\sin(x))^{x^2-3}\cdot \left[ 2x\log(3+\sin(x)) + \frac{(x^2-3)\cos(x)}{3+\sin(x)}\right] \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류