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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

지수함수와 로그함수의 미분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.10절 · 29번우리말 번역

f(x)=(3+sin⁡(x))x2−3f(x)= (3+\sin(x))^{x^2-3} 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate f(x)=(3+sin⁡(x))x2−3f(x)= (3+\sin(x))^{x^2-3}.

정답·풀이 보기

로그미분법을 사용한다. 따라서 함수를 바꾸어 다음을 생각한다.

log⁡f(x)=(x2−3)⋅log⁡(3+sin⁡(x)) .미분하면:f′(x)f(x)=ddx{(x2−3)⋅log⁡(3+sin⁡(x))}=2xlog⁡(3+sin⁡(x))+(x2−3)cos⁡(x)3+sin⁡(x)마지막으로 f′(x) 에 대해 풀면:f′(x)=f(x)⋅[2xlog⁡(3+sin⁡(x))+(x2−3)cos⁡(x)3+sin⁡(x)]=(3+sin⁡(x))x2−3⋅[2xlog⁡(3+sin⁡(x))+(x2−3)cos⁡(x)3+sin⁡(x)]\begin{aligned} \log f(x) &= (x^2-3)\cdot \log(3+\sin(x))\,. \\ \text{미분하면:} \\ \frac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{(x^2-3)\cdot \log(3+\sin(x)) \right\}\\ &=2x\log(3+\sin(x)) + (x^2-3)\frac{\cos(x)}{3+\sin(x)} \\ \text{마지막으로 $f'(x)$ 에 대해 풀면:} \\ f'(x)&= f(x)\cdot \left[ 2x\log(3+\sin(x)) + \frac{(x^2-3)\cos(x)}{3+\sin(x)}\right]\\ &= (3+\sin(x))^{x^2-3}\cdot \left[ 2x\log(3+\sin(x)) + \frac{(x^2-3)\cos(x)}{3+\sin(x)}\right] \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We use logarithmic differentiation. So, we modify our function and consider

log⁡f(x)=(x2−3)⋅log⁡(3+sin⁡(x)) .We differentiate:f′(x)f(x)=ddx{(x2−3)⋅log⁡(3+sin⁡(x))}=2xlog⁡(3+sin⁡(x))+(x2−3)cos⁡(x)3+sin⁡(x)Finally, we solve for f′(x):f′(x)=f(x)⋅[2xlog⁡(3+sin⁡(x))+(x2−3)cos⁡(x)3+sin⁡(x)]=(3+sin⁡(x))x2−3⋅[2xlog⁡(3+sin⁡(x))+(x2−3)cos⁡(x)3+sin⁡(x)]\begin{aligned} \log f(x) &= (x^2-3)\cdot \log(3+\sin(x))\,. \\ \text{We differentiate:} \\ \frac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{(x^2-3)\cdot \log(3+\sin(x)) \right\}\\ &=2x\log(3+\sin(x)) + (x^2-3)\frac{\cos(x)}{3+\sin(x)} \\ \text{Finally, we solve for $f'(x)$:} \\ f'(x)&= f(x)\cdot \left[ 2x\log(3+\sin(x)) + \frac{(x^2-3)\cos(x)}{3+\sin(x)}\right]\\ &= (3+\sin(x))^{x^2-3}\cdot \left[ 2x\log(3+\sin(x)) + \frac{(x^2-3)\cos(x)}{3+\sin(x)}\right] \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.10절 · 11번우리말 번역

도함수를 구하세요. 답을 간단히 하지 않아도 됩니다. y=log⁡(x2+x4+1)y=\log(x^2+\sqrt{x^4+1})

다 풀었으면 정답 확인

y=log⁡(x2+x4+1)So, we’ll need the chain rule:y′=ddx{x2+x4+1}x2+x4+1=2x+ddx{x4+1}x2+x4+1We need the chain rule again:=2x+ddx{x4+1}2x4+1x2+x4+1=2x+4x32x4+1x2+x4+1.\begin{aligned} y&=\log(x^2+\sqrt{x^4+1}) \\ \text{So, we'll need the chain rule:} \\ y'&=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^2+\sqrt{x^4+1}\right\}}{ x^2+\sqrt{x^4+1}}\\ &=\frac{2x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^4+1}\right\}}{x^2+\sqrt{x^4+1}} \\ \text{We need the chain rule again:} \\ &=\frac{2x+\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^4+1\right\}}{2\sqrt{ x^4+1}}}{x^2+\sqrt{x^4+1}}\\ &=\frac{2x+\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+1}}}{x^2+\sqrt{x^4+1}}. \end{aligned}

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