지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.10절 · 16번

CLP-1 · 2.10절 · 16번우리말 번역

함수 $f(x) = \log\left(\sqrt{\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}}\right)$ 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate the derivative of the function $f(x) = \log\left(\sqrt{\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}}\right)$ .

정답·풀이 보기

먼저 간단히 하면 다음과 같다:

$\begin{aligned} f(x) &= \log\left(\sqrt{\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}}\right)\\ &=\log\left(\left({\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}}\right)^{1/2}\right)\\ &=\frac{1}{2}\log\left(\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left[\log\left({(x^2+5)^3}\right)-\log({x^4+10})\right] \\ &=\frac{1}{2}\left[3\log\left({(x^2+5)}\right)-\log({x^4+10})\right] \\ \text{이제 연쇄법칙을 이용하여 미분한다:} \\ f'(x)&=\frac{1}{2}\left[ 3\frac{2x}{x^2+5}-\frac{4x^3}{x^4+10} \right]\\ &=\frac{3x}{x^2+5}-\frac{2x^3}{x^4+10} \end{aligned}$

참고: $\log(x^2+4)$ 를 $\log(x^2)+\log(4)$ 로 쓰는 것은 흔한 실수이다. 이 두 식은 서로 같지 않다!

원본 교재 풀이(영어)

We begin by simplifying:

$\begin{aligned} f(x) &= \log\left(\sqrt{\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}}\right)\\ &=\log\left(\left({\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}}\right)^{1/2}\right)\\ &=\frac{1}{2}\log\left(\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left[\log\left({(x^2+5)^3}\right)-\log({x^4+10})\right] \\ &=\frac{1}{2}\left[3\log\left({(x^2+5)}\right)-\log({x^4+10})\right] \\ \text{Now, we differentiate using the chain rule:} \\ f'(x)&=\frac{1}{2}\left[ 3\frac{2x}{x^2+5}-\frac{4x^3}{x^4+10} \right]\\ &=\frac{3x}{x^2+5}-\frac{2x^3}{x^4+10} \end{aligned}$

Remark: it is a common mistake to write $\log(x^2+4)$ as $\log(x^2)+\log(4)$ . These expressions are not equivalent!

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.10절 · 4번우리말 번역

$f(x)=\log(10x)$ 을 미분하세요.

다 풀었으면 정답 확인

풀이 1: 합성함수의 미분법을 이용하면 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log(10x)\right\}=\dfrac{1}{10x}\cdot 10=\frac{1}{x}$ 이다.
풀이 2: 간단히 하면 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log(10x)\right\}=\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log(10)+\log x\right\} = 0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류