지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.10절 · 17번

CLP-1 · 2.10절 · 17번우리말 번역

$f(x) = \log\big(g\big(xh(x)\big)\big)$ , $h(2) = 2$ , $h'(2) = 3$ , $g(4) = 3$ , $g'(4) = 5$ 일 때 $f'(2)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $f'(2)$ if $f(x) = \log\big(g\big(xh(x)\big)\big)$ , $h(2) = 2$ , $h'(2) = 3$ , $g(4) = 3$ , $g'(4) = 5$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

합성함수의 미분법을 두 번 쓴 다음 곱의 미분법을 쓴다:

$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{ g(xh(x))}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ g(xh(x))\}\\ &=\frac{1}{g(xh(x))}\cdot g'( xh(x))\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ xh(x)\} \\ &=\dfrac{1}{g\big(xh(x)\big)}\cdot g'\big(xh(x)\big)\cdot\big[h(x)+xh'(x)\big] \\ \text{특히, $x=2$ 일 때:} \\ f'(2) &= \dfrac{1}{g\big(2h(2)\big)}\cdot g'\big(2h(2)\big)\cdot \big[h(2)+2h'(2)\big]\\ &= \dfrac{g'(4)}{g(4)}\big[2+2\times 3\big] = \dfrac{5}{3}\big[2+2\times 3\big]\\ &=\dfrac{40}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the chain rule twice, followed by the product rule:

$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{ g(xh(x))}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ g(xh(x))\}\\ &=\frac{1}{g(xh(x))}\cdot g'( xh(x))\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ xh(x)\} \\ &=\dfrac{1}{g\big(xh(x)\big)}\cdot g'\big(xh(x)\big)\cdot\big[h(x)+xh'(x)\big] \\ \text{In particular, when $x=2$:} \\ f'(2) &= \dfrac{1}{g\big(2h(2)\big)}\cdot g'\big(2h(2)\big)\cdot \big[h(2)+2h'(2)\big]\\ &= \dfrac{g'(4)}{g(4)}\big[2+2\times 3\big] = \dfrac{5}{3}\big[2+2\times 3\big]\\ &=\dfrac{40}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.10절 · 7번우리말 번역

$f(x)=\log_{10}x$ 를 미분하세요.

다 풀었으면 정답 확인

밑이 $e$ 인 자연로그의 도함수는 알고 있으므로, 밑 변환 공식을 이용한다.

$\begin{aligned} f(x)=\log_{10}x&=\frac{\log x}{\log 10} \\ \text{$\log 10$ 은 상수이므로:} \\ f'(x)&=\frac{1}{x\log 10}. \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류