지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.10절 · 18번

CLP-1 · 2.10절 · 18번우리말 번역

함수 $g(x)=\pi^x+x^\pi$ 를 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate the function $g(x)=\pi^x+x^\pi.$

정답·풀이 보기

교재에서 상수 $a$ 에 대해 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{a^x\right\}=a^x\log a$ 임을 보았다. 따라서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\pi^x\right\}=\pi^x\log \pi$ 이다.

거듭제곱의 미분법에 의해 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{x^{\pi}\right\}=\pi x^{\pi-1}$ 이다.

그러므로 $g'(x)=\pi^x\log \pi+\pi x^{\pi-1}$ 이다.

참고: $g(x)$ 의 두 항에는 서로 다른 두 가지 법칙을 써야 했다. 함수 $\pi^x$ 와 $x^\pi$ 는 겉보기에 비슷하지만, 두 함수와 그 도함수는 서로 다르게 행동한다. $(\text{상수})^{x}$ 꼴의 함수는 지수함수이며 거듭제곱의 미분법을 쓸 수 없다. 반면 $x^{\text{상수}}$ 꼴의 함수는 바로 거듭제곱의 미분법이 적용되는 함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

In the text, we saw that $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{a^x\right\}=a^x\log a$ for any constant $a$ . So, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\pi^x\right\}=\pi^x\log \pi$ .

By the power rule, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{x^{\pi}\right\}=\pi x^{\pi-1}$ .

Therefore, $g'(x)=\pi^x\log \pi+\pi x^{\pi-1}$ .

Remark: we had to use two different rules for the two different terms in $g(x)$ . Although the functions $\pi^x$ and $x^\pi$ look superficially the same, they behave differently, as do their derivatives. A function of the form $(\text{constant})^{x}$ is an exponential function and not eligible for the power rule, while a function of the form $x^{\text{constant}}$ is exactly the class of function the power rule applies to.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.10절 · 19번우리말 번역

$f(x)=x^x$ 을 미분하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$n$ 이 상수일 때 $x^n$ 꼴 함수의 도함수는 거듭제곱의 미분법으로 알 수 있다. 그러나 여기서는 지수가 상수가 아니다. 마찬가지로 이 절에서 $a$ 가 상수일 때 $a^x$ 꼴 함수의 도함수를 배웠지만, 이번에도 밑이 상수가 아니다! 결과 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} a^x=a^x\log a$ 는 우리에게 필요한 것이 아니지만, $a^x$ 을 미분할 때 쓴 방법은 $x^x$ 의 도함수를 알려 줄 것이다.

$g(x)=\log(x^x)$ 으로 놓자. 이제 로그의 성질을 써서 간단히 할 수 있기 때문이다:

$\begin{aligned} g(x)=\log(f(x))&=x\log x \\ \text{이제 오른쪽 변은 곱의 미분법으로, $\log(f(x))$ 는 합성함수의 미분법으로 미분할 수 있다:} \\ g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}&=\log x +x\frac{1}{x}=\log x +1 \\ \text{마지막으로 $f'(x)$ 에 대해 푼다:} \\ f'(x)&=f(x)(\log x + 1) = x^x(\log x + 1) \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류