지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.10절 · 19번

CLP-1 · 2.10절 · 19번우리말 번역

$f(x)=x^x$ 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)=x^x$ .

정답·풀이 보기

$n$ 이 상수일 때 $x^n$ 꼴 함수의 도함수는 거듭제곱의 미분법으로 알 수 있다. 그러나 여기서는 지수가 상수가 아니다. 마찬가지로 이 절에서 $a$ 가 상수일 때 $a^x$ 꼴 함수의 도함수를 배웠지만, 이번에도 밑이 상수가 아니다! 결과 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} a^x=a^x\log a$ 는 우리에게 필요한 것이 아니지만, $a^x$ 을 미분할 때 쓴 방법은 $x^x$ 의 도함수를 알려 줄 것이다.

$g(x)=\log(x^x)$ 으로 놓자. 이제 로그의 성질을 써서 간단히 할 수 있기 때문이다:

$\begin{aligned} g(x)=\log(f(x))&=x\log x \\ \text{이제 오른쪽 변은 곱의 미분법으로, $\log(f(x))$ 는 합성함수의 미분법으로 미분할 수 있다:} \\ g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}&=\log x +x\frac{1}{x}=\log x +1 \\ \text{마지막으로 $f'(x)$ 에 대해 푼다:} \\ f'(x)&=f(x)(\log x + 1) = x^x(\log x + 1) \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We have the power rule to tell us the derivative of functions of the form $x^n$ , where $n$ is a constant. However, here our exponent is not a constant. Similarly, in this section we learned the derivative of functions of the form $a^x$ , where $a$ is a constant, but again, our base is not a constant! Although the result $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} a^x=a^x\log a$ is not what we need, the method used to differentiate $a^x$ will tell us the derivative of $x^x$ .

We'll set $g(x)=\log(x^x)$ , because now we can use logarithm rules to simplify:

$\begin{aligned} g(x)=\log(f(x))&=x\log x \\ \text{Now, we can use the product rule to differentiate the right side, and the chain rule to differentiate $\log(f(x))$:} \\ g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}&=\log x +x\frac{1}{x}=\log x +1 \\ \text{Finally, we solve for $f'(x)$:} \\ f'(x)&=f(x)(\log x + 1) = x^x(\log x + 1) \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.10절 · 9번우리말 번역

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \log(\sec \theta)$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

연쇄 법칙을 사용하면

$\begin{aligned} \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \log(\sec \theta)&=\frac{1}{\sec \theta}\cdot (\sec \theta \cdot \tan \theta)\\ &=\tan\theta \end{aligned}$

참고: 함수 $\log(\sec \theta)$ 의 정의역은 $\sec\theta$ 가 양수가 되는 $\theta$ 의 값들이다. 따라서 $n$ 이 임의의 정수일 때 구간 $\left(\left(2n-\frac{1}{2}\right)\pi,\left(2n+\frac{1}{2}\right)\pi\right)$ 가 정의역이다. 탄젠트 함수의 정의역은 분명 이보다 넓지만, $\log(\sec \theta)$ 의 정의역 밖에서는 $\tan \theta$ 가 $\log(\sec \theta)$ 의 도함수가 아니다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류