지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.10절 · 23번

CLP-1 · 2.10절 · 23번우리말 번역

$f(x) = \left(\dfrac{5x^2+10x+15}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{10(x+1)}\right)$ 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x) = \left(\dfrac{5x^2+10x+15}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{10(x+1)}\right)$ .

정답·풀이 보기

몫의 미분법과 곱의 미분법으로 풀 수도 있지만 매우 번거롭다. 대신 로그를 이용하자.

$\begin{aligned} f(x) &= \left(\dfrac{5x^2+10x+15}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{10(x+1)}\right) = \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right) \\ \log(f(x)) &= \log\left[\left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right)\right]\\ &=\log\left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right) + \log\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right) \\&=\log\left({x^2+2x+3}\right)- \log\left({3x^4+4x^3+5}\right) -\log(x+1)-\log(2) \\ \text{이제 처음 함수보다 훨씬 간단하게 미분할 수 있는 함수가 되었다.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log(f(x))\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \log\left({x^2+2x+3}\right)- \log\left({3x^4+4x^3+5}\right) - \log\left({x+1}\right)- \log\left({2}\right) \right\}\\ \frac{f'(x)}{f(x)}&=\frac{2x+2}{x^2+2x+3}-\frac{12x^3+12x^2}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\\ &=\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1} \\ \text{마지막으로 $f(x)$ 에 대해 정리한다:} \\ f'(x)&=f(x)\left(\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\right)\\ &= \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right)\left(\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\right)\\ &= \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\frac{1}{x^2+2x+3}-\frac{6x^2}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{2(x+1)^2}\right) \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We could do this with quotient and product rules, but it would be pretty painful. Insteady, let's use a logarithm.

$\begin{aligned} f(x) &= \left(\dfrac{5x^2+10x+15}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{10(x+1)}\right) = \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right) \\ \log(f(x)) &= \log\left[\left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right)\right]\\ &=\log\left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right) + \log\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right) \\&=\log\left({x^2+2x+3}\right)- \log\left({3x^4+4x^3+5}\right) -\log(x+1)-\log(2) \\ \text{Now we have a function that we can differentiate more cleanly than our original function.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log(f(x))\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \log\left({x^2+2x+3}\right)- \log\left({3x^4+4x^3+5}\right) - \log\left({x+1}\right)- \log\left({2}\right) \right\}\\ \frac{f'(x)}{f(x)}&=\frac{2x+2}{x^2+2x+3}-\frac{12x^3+12x^2}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\\ &=\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1} \\ \text{Finally, we solve for $f(x)$:} \\ f'(x)&=f(x)\left(\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\right)\\ &= \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right)\left(\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\right)\\ &= \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\frac{1}{x^2+2x+3}-\frac{6x^2}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{2(x+1)^2}\right) \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.10절 · 18번우리말 번역

함수 $g(x)=\pi^x+x^\pi$ 를 미분하세요.

다 풀었으면 정답 확인

교재에서 상수 $a$ 에 대해 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{a^x\right\}=a^x\log a$ 임을 보았다. 따라서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\pi^x\right\}=\pi^x\log \pi$ 이다.

거듭제곱의 미분법에 의해 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{x^{\pi}\right\}=\pi x^{\pi-1}$ 이다.

그러므로 $g'(x)=\pi^x\log \pi+\pi x^{\pi-1}$ 이다.

참고: $g(x)$ 의 두 항에는 서로 다른 두 가지 법칙을 써야 했다. 함수 $\pi^x$ 와 $x^\pi$ 는 겉보기에 비슷하지만, 두 함수와 그 도함수는 서로 다르게 행동한다. $(\text{상수})^{x}$ 꼴의 함수는 지수함수이며 거듭제곱의 미분법을 쓸 수 없다. 반면 $x^{\text{상수}}$ 꼴의 함수는 바로 거듭제곱의 미분법이 적용되는 함수이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류