지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.10절 · 27번

CLP-1 · 2.10절 · 27번우리말 번역

$f(x)= (x^2+1)^{\sin(x)}$ 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)= (x^2+1)^{\sin(x)}$ .

정답·풀이 보기

로그미분법을 이용한다. 함수를 다음과 같이 바꾸어 생각한다.

$\begin{aligned} \log f(x) &= \log(x^2+1) \cdot \sin x \\ \text{곱의 미분법과 합성함수의 미분법으로 미분한다:} \\ \dfrac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \log(x^2+1) \cdot \sin x \right\} = \cos x \cdot \log(x^2+1) + \frac{2x\sin x}{x^2+1} \\ \text{마지막으로 $f'(x)$ 에 대해 정리한다} \\ f'(x) &= f(x) \cdot \left( \cos x \cdot \log(x^2+1) + \frac{2x\sin x}{x^2+1} \right) \\ &= (x^2+1)^{\sin(x)} \cdot \left( \cos x \cdot \log(x^2+1) + \frac{2x\sin x}{x^2+1} \right) \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use logarithmic differentiation: we modify our function to consider

$\begin{aligned} \log f(x) &= \log(x^2+1) \cdot \sin x \\ \text{We differentiate using the product and chain rules:} \\ \dfrac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \log(x^2+1) \cdot \sin x \right\} = \cos x \cdot \log(x^2+1) + \frac{2x\sin x}{x^2+1} \\ \text{Finally, we solve for $f'(x)$} \\ f'(x) &= f(x) \cdot \left( \cos x \cdot \log(x^2+1) + \frac{2x\sin x}{x^2+1} \right) \\ &= (x^2+1)^{\sin(x)} \cdot \left( \cos x \cdot \log(x^2+1) + \frac{2x\sin x}{x^2+1} \right) \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.10절 · 23번우리말 번역

$f(x) = \left(\dfrac{5x^2+10x+15}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{10(x+1)}\right)$ 을 미분하세요.

다 풀었으면 정답 확인

몫의 미분법과 곱의 미분법으로 풀 수도 있지만 매우 번거롭다. 대신 로그를 이용하자.

$\begin{aligned} f(x) &= \left(\dfrac{5x^2+10x+15}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{10(x+1)}\right) = \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right) \\ \log(f(x)) &= \log\left[\left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right)\right]\\ &=\log\left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right) + \log\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right) \\&=\log\left({x^2+2x+3}\right)- \log\left({3x^4+4x^3+5}\right) -\log(x+1)-\log(2) \\ \text{이제 처음 함수보다 훨씬 간단하게 미분할 수 있는 함수가 되었다.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log(f(x))\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \log\left({x^2+2x+3}\right)- \log\left({3x^4+4x^3+5}\right) - \log\left({x+1}\right)- \log\left({2}\right) \right\}\\ \frac{f'(x)}{f(x)}&=\frac{2x+2}{x^2+2x+3}-\frac{12x^3+12x^2}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\\ &=\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1} \\ \text{마지막으로 $f(x)$ 에 대해 정리한다:} \\ f'(x)&=f(x)\left(\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\right)\\ &= \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right)\left(\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\right)\\ &= \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\frac{1}{x^2+2x+3}-\frac{6x^2}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{2(x+1)^2}\right) \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류