지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.10절 · 31번

CLP-1 · 2.10절 · 31번우리말 번역

$f(x)$ 를 치역이 양수만으로 이루어진 함수라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 와 $y=\log(f(x))$ 가 같은 $x$ 의 값에서 수평인 접선을 가짐을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)$ be a function whose range includes only positive numbers. Show that the curves $y=f(x)$ and $y=\log(f(x))$ have horizontal tangent lines at the same values of $x$ .

정답·풀이 보기

$g(x):=\log(f(x))$ 라 하자. $g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$ 임에 주목한다.

두 곡선이 같은 $x$ 의 값에서 수평인 접선을 가짐을 보이기 위해 두 가지를 보일 것이다. 첫째, $f(x)$ 가 어떤 $x$ 의 값에서 수평인 접선을 가지면 $g(x)$ 도 그 $x$ 의 값에서 수평인 접선을 가진다. 둘째, $g(x)$ 가 어떤 $x$ 의 값에서 수평인 접선을 가지면 $f(x)$ 도 그 $x$ 의 값에서 수평인 접선을 가진다.

어떤 점 $x_0$ 에 대해 $x=x_0$ 에서 $f(x)$ 가 수평인 접선을 가진다고 하자. 이는 $f'(x_0)=0$ 임을 뜻한다. 그러면 $g'(x_0)=\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}$ 이다. $f(x_0) \neq 0$ 이므로 $\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}=\frac{0}{f(x_0)}=0$ 이고, 따라서 $x=x_0$ 에서 $g(x)$ 도 수평인 접선을 가진다. 이로써 $f$ 가 수평인 접선을 가질 때마다 $g$ 도 수평인 접선을 가짐을 보였다.

이제 어떤 점 $x_0$ 에 대해 $x=x_0$ 에서 $g(x)$ 가 수평인 접선을 가진다고 하자. 이는 $g'(x_0)=0$ 임을 뜻한다. 그러면 $g'(x_0)=\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}=0$ 이므로 $f'(x_0)$ 이 존재하고 0 과 같다. 따라서 $x=x_0$ 에서 $f(x)$ 도 수평인 접선을 가진다. 이로써 $g$ 가 수평인 접선을 가질 때마다 $f$ 도 수평인 접선을 가짐을 보였다.

참고: $f(x)$ 가 양수만을 값으로 가진다는 조건이 주어지지 않았다면, $f(x)$ 와 $\log(f(x))$ 가 같은 $x$ 의 값에서 수평인 접선을 가진다는 것이 반드시 참인 것은 아니다. $f(x)$ 가 음수인 $x$ 의 값에서 $f(x)$ 가 수평인 접선을 가진다면, 그곳에서 $\log(f(x))$ 는 존재하지 않으므로 수평인 접선을 가질 수도 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $g(x):=\log(f(x))$ . Notice $g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$ .

In order to show that the two curves have horizontal tangent lines at the same values of $x$ , we will show two things: first, that if $f(x)$ has a horizontal tangent line at some value of $x$ , then also $g(x)$ has a horizontal tangent line at that value of $x$ . Second, we will show that if $g(x)$ has a horizontal tangent line at some value of $x$ , then also $f(x)$ has a horizontal tangent line at that value of $x$ .

Suppose $f(x)$ has a horizontal tangent line where $x=x_0$ for some point $x_0$ . This means $f'(x_0)=0$ . Then $g'(x_0)=\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}$ . Since $f(x_0) \neq 0$ , $\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}=\frac{0}{f(x_0)}=0$ , so $g(x)$ also has a horizontal tangent line when $x=x_0$ . This shows that whenever $f$ has a horizontal tangent line, $g$ has one too.

Now suppose $g(x)$ has a horizontal tangent line where $x=x_0$ for some point $x_0$ . This means $g'(x_0)=0$ . Then $g'(x_0)=\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}=0$ , so $f'(x_0)$ exists and is equal to zero. Therefore, $f(x)$ also has a horizontal tangent line when $x=x_0$ . This shows that whenever $g$ has a horizontal tangent line, $f$ has one too.

Remark: if we were not told that $f(x)$ gives only positive numbers, it would not necessarily be true that $f(x)$ and $\log(f(x))$ have horizontal tangent lines at the same values of $x$ . If $f(x)$ had a horizontal tangent line at an $x$ -value where $f(x)$ were negative, then $\log(f(x))$ would not exist there, let alone have a horizontal tangent line.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.9절 · 17번

로그미분법을 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$y={(\sin 2x)}^{4x}$

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$\dfrac{dy}{dx}={(\sin 2x)}^{4x}\left[4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x\right]$

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