지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.9절 · 17번

OpenStax 1권 · 3.9절 · 17번우리말 풀이

로그미분법을 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$y={(\sin 2x)}^{4x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use logarithmic differentiation to find $\frac{dy}{dx}.$

$y={(\sin 2x)}^{4x}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

밑과 지수에 모두 $x$ 가 있으면 양변에 자연로그를 취해 지수를 앞으로 내린 뒤 미분해요.

1
밑과 지수에 모두 $x$ 가 있어서 바로 미분 공식을 쓸 수 없어요. 양변에 자연로그를 취하면 지수가 앞으로 내려와요.

$\ln y=4x\ln(\sin 2x)$
2
양변을 $x$ 에 대해 미분해요. 왼쪽은 합성함수 미분으로 $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$ 가 돼요. 오른쪽은 $4x$ 와 $\ln(\sin 2x)$ 의 곱이므로 곱의 미분법을 써요.

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=4\ln(\sin 2x)+4x\cdot\frac{(\sin 2x)'}{\sin 2x}$
3
$(\sin 2x)'=2\cos 2x$ 이므로 $\dfrac{2\cos 2x}{\sin 2x}=2\cot 2x$ 예요. 따라서

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x$
4
양변에 $y$ 를 곱하고 $y$ 를 원래 식으로 되돌려요.

$\frac{dy}{dx}={(\sin 2x)}^{4x}\Big[4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x\Big]$

답

$\dfrac{dy}{dx}={(\sin 2x)}^{4x}\left[4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x\right]$

자주 하는 실수

마지막에 $y$ 를 곱하는 것을 잊거나, $\sin 2x$ 의 속미분 $2$ 를 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

${(\sin 2x)}^{4x}[4\cdot \ln (\sin 2x)+8x\cdot \cot 2x]$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.9절 · 9번

다음 함수에 대하여 $f'(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=x^{\pi }\cdot \pi^{x}$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$f'(x)=\pi x^{\pi-1}\cdot\pi^{x}+x^{\pi}\cdot\pi^{x}\ln\pi$