음함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.11절 · 2번

CLP-1 · 2.11절 · 2번우리말 번역

아래 그림을 이용하여, 곡선이 $y$ 축과 만나는 세 점에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 의 값을 어림하세요.

참고: 이 곡선에서는 하나의 $x$ 의 값에 여러 개의 $y$ 의 값이 대응할 수 있다. 따라서 이 곡선은 어떤 함수 $x$ 에 대해서도 $y=f(x)$ 로 나타낼 수 없다. 이는 음함수 미분을 사용할 수 있는 대표적인 경우 중 하나이다.

영어 원문 보기

Using the picture below, estimate $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ at the three points where the curve crosses the $y$ -axis.

Remark: for this curve, one value of $x$ may correspond to multiple values of $y$ . So, we cannot express this curve as $y=f(x)$ for any function $x$ . This is one typical situation where we might use implicit differentiation.

정답·풀이 보기

$(0,4)$ 와 $(0,-4)$ 에서는 곡선을 확대해 보면 수평으로 보이므로, 이 점에서의 접선의 미분계수는 0이다. 원점에서는 접선이 수직으로 보이므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

At $(0,4)$ and $(0,-4)$ , the curve looks to be horizontal, if you zoom in: a tangent line here would have derivative zero. At the origin, the curve looks like its tangent line is vertical, so $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.11절 · 3번우리말 번역

$x^2+y^2=1$ 을 만족하는 모든 점 $(x,y)$ 로 이루어진 단위원을 생각합니다.

(a) $y=f(x)$ 가 단위원을 완전히 나타내도록 하는 함수 $f(x)$ 가 있나요? 즉, 등식 $y=f(x)$ 를 참이 되게 하는 점 $(x,y)$ 가 등식 $x^2+y^2=1$ 을 참이 되게 하는 점과 정확히 같도록 하는 함수가 있나요? (b) $y=f'(x)$ 가 단위원의 기울기를 완전히 나타내도록 하는 함수 $f'(x)$ 가 있나요? 즉, 단위원 위의 모든 점 $(x,y)$ 에 대하여 그 점에서 원에 그은 접선의 기울기가 $f'(x)$ 로 주어지도록 하는 함수가 있나요? (c) 음함수 미분을 이용하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 에 대한 식을 구하세요. 그 식이 ( $y$ 는 포함하지 않고) $x$ 만의 함수가 될 때까지 간단히 하거나, 그것이 불가능한 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 아니요. 함수는 수직선 판정법을 통과해야 한다. 즉, 하나의 입력에서 두 개(또는 그 이상)의 출력이 나올 수 없다. 하나의 $x$ 값이 때때로 두 개의 $y$ 값에 대응하므로(예를 들어 $x=\pi/4$ 일 때 $y$ 는 $\pm 1/\sqrt{2}$ 이다), $y=f(x)$ 가 원 위의 모든 점을 나타내도록 하는 함수 $f(x)$ 는 없다.

참고: $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ 은 단위원 위의 모든 점을 나타낸다. 그러나 하나의 입력 $x$ 가 때때로 두 개의 출력 $y$ 를 내므로 이 식은 함수가 아니다.

(b) 아니요, (a)와 같은 이유이다. $f'(x)$ 가 함수라면 하나의 $x$ 값에 대응하는 기울기를 많아야 하나만 줄 수 있다. 하나의 $x$ 값이 기울기가 서로 다른 원 위의 두 점에 대응할 수 있으므로, $f'(x)$ 는 원 위의 모든 점의 기울기를 줄 수 없다. 예를 들어 $0<a<1$ 인 임의의 $a$ 를 잡자. $x$ 좌표가 $a$ 인 원 위의 점은 두 개 있다. 위쪽 점에서는 기울기가 엄격히 음수이고, 아래쪽 점에서는 기울기가 엄격히 양수이다.

$\begin{aligned} 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \\ \text{그리고 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 에 대해 푼다} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{x}{y} \end{aligned}$

그런데 이 등식의 우변에는 $y$ 가 있고, 이를 없앨 방법이 분명하지 않다. (b)의 답에 따르면, 우변이 $x$ 의 함수가 되도록 하려면 사실 $y$ 를 없앨 수 없다. 하나의 $x$ 값이 원 위의 여러 점에 대응하므로 도함수는 $x$ 의 함수로 나타낼 수 없다.

참고: $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ 이므로 다음과 같이 쓰려고 할 수 있다. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}=\pm\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ 그러나 이것은 $x$ 의 함수가 아니다. 다시 말하지만, 함수에서는 하나의 입력이 많아야 하나의 출력을 내지만, 여기서는 대개 하나의 $x$ 값이 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 의 두 값을 낸다.

이 문제로 이어서 풀기

# 음함수의 미분법그래프·표 해석기본자동 분류