음함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.11절 · 3번

CLP-1 · 2.11절 · 3번우리말 번역

$x^2+y^2=1$ 을 만족하는 모든 점 $(x,y)$ 로 이루어진 단위원을 생각합니다.

(a) $y=f(x)$ 가 단위원을 완전히 나타내도록 하는 함수 $f(x)$ 가 있나요? 즉, 등식 $y=f(x)$ 를 참이 되게 하는 점 $(x,y)$ 가 등식 $x^2+y^2=1$ 을 참이 되게 하는 점과 정확히 같도록 하는 함수가 있나요? (b) $y=f'(x)$ 가 단위원의 기울기를 완전히 나타내도록 하는 함수 $f'(x)$ 가 있나요? 즉, 단위원 위의 모든 점 $(x,y)$ 에 대하여 그 점에서 원에 그은 접선의 기울기가 $f'(x)$ 로 주어지도록 하는 함수가 있나요? (c) 음함수 미분을 이용하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 에 대한 식을 구하세요. 그 식이 ( $y$ 는 포함하지 않고) $x$ 만의 함수가 될 때까지 간단히 하거나, 그것이 불가능한 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Consider the unit circle, formed by all points $(x,y)$ that satisfy $x^2+y^2=1$ .

(a) Is there a function $f(x)$ so that $y=f(x)$ completely describes the unit circle? That is, so that the points $(x,y)$ that make the equation $y=f(x)$ true are exactly the same points that make the equation $x^2+y^2=1$ true? (b) Is there a function $f'(x)$ so that $y=f'(x)$ completely describes the slope of the unit circle? That is, so that for every point $(x,y)$ on the unit circle, the slope of the tangent line to the circle at that point is given by $f'(x)$ ? (c) Use implicit differentiation to find an expression for $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ . Simplify until the expression is a function in terms of $x$ only (not $y$ ), or explain why this is impossible.

정답·풀이 보기

(a) 아니요. 함수는 수직선 판정법을 통과해야 한다. 즉, 하나의 입력에서 두 개(또는 그 이상)의 출력이 나올 수 없다. 하나의 $x$ 값이 때때로 두 개의 $y$ 값에 대응하므로(예를 들어 $x=\pi/4$ 일 때 $y$ 는 $\pm 1/\sqrt{2}$ 이다), $y=f(x)$ 가 원 위의 모든 점을 나타내도록 하는 함수 $f(x)$ 는 없다.

참고: $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ 은 단위원 위의 모든 점을 나타낸다. 그러나 하나의 입력 $x$ 가 때때로 두 개의 출력 $y$ 를 내므로 이 식은 함수가 아니다.

(b) 아니요, (a)와 같은 이유이다. $f'(x)$ 가 함수라면 하나의 $x$ 값에 대응하는 기울기를 많아야 하나만 줄 수 있다. 하나의 $x$ 값이 기울기가 서로 다른 원 위의 두 점에 대응할 수 있으므로, $f'(x)$ 는 원 위의 모든 점의 기울기를 줄 수 없다. 예를 들어 $0<a<1$ 인 임의의 $a$ 를 잡자. $x$ 좌표가 $a$ 인 원 위의 점은 두 개 있다. 위쪽 점에서는 기울기가 엄격히 음수이고, 아래쪽 점에서는 기울기가 엄격히 양수이다.

$\begin{aligned} 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \\ \text{그리고 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 에 대해 푼다} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{x}{y} \end{aligned}$

그런데 이 등식의 우변에는 $y$ 가 있고, 이를 없앨 방법이 분명하지 않다. (b)의 답에 따르면, 우변이 $x$ 의 함수가 되도록 하려면 사실 $y$ 를 없앨 수 없다. 하나의 $x$ 값이 원 위의 여러 점에 대응하므로 도함수는 $x$ 의 함수로 나타낼 수 없다.

참고: $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ 이므로 다음과 같이 쓰려고 할 수 있다. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}=\pm\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ 그러나 이것은 $x$ 의 함수가 아니다. 다시 말하지만, 함수에서는 하나의 입력이 많아야 하나의 출력을 내지만, 여기서는 대개 하나의 $x$ 값이 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 의 두 값을 낸다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) No. A function must pass the vertical line test: one input cannot result in two (or more) outputs. Since one value of $x$ sometimes corresponds to two values of $y$ (for example, when $x=\pi/4$ , $y$ is $\pm 1/\sqrt{2}$ ), there is no function $f(x)$ so that $y=f(x)$ captures every point on the circle.

Remark: $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ does capture every point on the unit circle. However, since one input $x$ sometimes results in two outputs $y$ , this expression is not a function.

(b) No, for the same reasons as (a). If $f'(x)$ is a function, then it can give at most one slope corresponding to one value of $x$ . Since one value of $x$ can correspond to two points on the circle with different slopes, $f'(x)$ cannot give the slope of every point on the circle. For example, fix any $0<a<1$ . There are two points on the circle with $x$ -coordinate equal to $a$ . At the upper one, the slope is strictly negative. At the lower one, the slope is strictly positive.

$\begin{aligned} 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \\ \text{and solve for $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{x}{y} \end{aligned}$

But there is a $y$ in the right-hand side of this equation, and it's not clear how to get it out. Our answer in (b) tells us that, actually, we can't get it out, if we want the right-hand side to be a function of $x$ . The derivative cannot be expressed as a function of $x$ , because one value of $x$ corresponds to multiple points on the circle.

Remark: since $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ , we could try writing $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}=\pm\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ but this is not a function of $x$ . Again, in a function, one input leads to at most one output, but here one value of $x$ will usually lead to two values of $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.11절 · 13번우리말 번역

$x^2y^2+x\sin(y)=4$ 일 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$x^2y(x)^2+x\sin(y(x))=4$ 를 $x$ 에 대해 음함수 미분하면

$\begin{aligned} 2xy^2&+2x^2yy'+\sin y+xy'\cos y=0 \\ \text{그다음 $y'$ 에 대해 풀 수 있도록 $y'$ 을 포함한 항을 한쪽에 모은다:} \\ 2x^2yy'&+xy'\cos y=-2xy^2-\sin y\\ y'(2x^2y&+x\cos y)=-2xy^2-\sin y\\ y'&=-\frac{2xy^2+\sin y}{2x^2y+x\cos y} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 음함수의 미분법그래프·표 해석기본자동 분류