음함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.11절 · 4번

CLP-1 · 2.11절 · 4번우리말 번역

$xy + e^x + e^y = 1$ 일 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ if $xy + e^x + e^y = 1$ .

정답·풀이 보기

$y$ 는 $x$ 의 함수임을 기억하자. 먼저 음함수 미분을 한다.

$\begin{aligned} xy + e^x + e^y &= 1\\ y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+e^x+e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \\ \text{이제, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 에 대해 푼다.} \\ x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-(e^x+y)\\ (x+e^y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-(e^x+y)\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{e^x+y}{e^y+x} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Remember that $y$ is a function of $x$ . We begin with implicit differentiation.

$\begin{aligned} xy + e^x + e^y &= 1\\ y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+e^x+e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \\ \text{Now, we solve for $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$.} \\ x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-(e^x+y)\\ (x+e^y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-(e^x+y)\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{e^x+y}{e^y+x} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.11절 · 12번우리말 번역

방정식 $\sqrt{xy} = x^2y-2$ 로 정의된 곡선에서 점 $(1, 4)$ 에서의 접선의 기울기를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

먼저 $x$ 에 대해 음함수 미분을 한다.

$\begin{aligned} \sqrt{xy} &= x^2y-2\\ \frac{1}{2\sqrt{xy}}\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{xy\}&=(2x)y+x^2\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ \frac{y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{2\sqrt{xy}}&=2xy+x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \\ \text{이제 $x=1$, $y=4$ 를 대입하고 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 에 대해 푼다:} \\ \frac{4+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{4}&=8+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{28}{3} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 음함수의 미분법계산보통자동 분류