음함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.11절 · 12번

CLP-1 · 2.11절 · 12번우리말 번역

방정식 $\sqrt{xy} = x^2y-2$ 로 정의된 곡선에서 점 $(1, 4)$ 에서의 접선의 기울기를 구하세요.

영어 원문 보기

For the curve defined by the equation $\sqrt{xy} = x^2y-2$ , find the slope of the tangent line at the point $(1, 4)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 $x$ 에 대해 음함수 미분을 한다.

$\begin{aligned} \sqrt{xy} &= x^2y-2\\ \frac{1}{2\sqrt{xy}}\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{xy\}&=(2x)y+x^2\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ \frac{y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{2\sqrt{xy}}&=2xy+x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \\ \text{이제 $x=1$, $y=4$ 를 대입하고 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 에 대해 푼다:} \\ \frac{4+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{4}&=8+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{28}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

First, we differentiate implicitly with respect to $x$ .

$\begin{aligned} \sqrt{xy} &= x^2y-2\\ \frac{1}{2\sqrt{xy}}\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{xy\}&=(2x)y+x^2\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ \frac{y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{2\sqrt{xy}}&=2xy+x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \\ \text{Now, we plug in $x=1$, $y=4$, and solve for $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$:} \\ \frac{4+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{4}&=8+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{28}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.11절 · 5번우리말 번역

$e^y=xy^2+x$ 일 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

등식의 양변을 $x$ 에 대해 미분한다.

$\begin{aligned} e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=x\cdot2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y^2+1 \\ \text{이제, 도함수를 한쪽으로 모아 푼다.} \\ e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-2xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=y^2+1\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\left(e^y-2xy\right)&=y^2+1\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{y^2+1}{e^y-2xy} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 음함수의 미분법계산보통자동 분류