음함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.11절 · 5번

CLP-1 · 2.11절 · 5번우리말 번역

$e^y=xy^2+x$ 일 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

If $e^y=xy^2+x$ , compute $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ .

정답·풀이 보기

등식의 양변을 $x$ 에 대해 미분한다.

$\begin{aligned} e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=x\cdot2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y^2+1 \\ \text{이제, 도함수를 한쪽으로 모아 푼다.} \\ e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-2xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=y^2+1\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\left(e^y-2xy\right)&=y^2+1\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{y^2+1}{e^y-2xy} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Differentiate both sides of the equation with respect to $x$ :

$\begin{aligned} e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=x\cdot2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y^2+1 \\ \text{Now, get the derivative on one side and solve} \\ e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-2xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=y^2+1\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\left(e^y-2xy\right)&=y^2+1\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{y^2+1}{e^y-2xy} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.11절 · 11번우리말 번역

타원 $x^2+3y^2=1$ 위의 어느 점에서 접선이 직선 $y=x$ 와 평행합니까?

다 풀었으면 정답 확인

문제는 타원 위의 어느 점에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{}=1$ 인지를 묻고 있다. 따라서 먼저 음함수 미분을 한다.

$\begin{aligned} 2x+6y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \\ \text{이 단계에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 에 대해 풀 수도 있지만, 그럴 필요는 없다. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 가 1이 되는 경우를 알고 싶다:} \\ 2x+6y(1)&=0\\ x&=-3y \\ \text{즉, 타원 위의 점 중 $x=-3y$ 인 점에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1$ 이다. 이를 타원의 방정식에 대입하여 이 점들의 좌표를 구한다.} \\ \left(-3y\right)^2+3y^2&=1\\ 12y^2&=1\\ y=\pm\frac{1}{\sqrt{12}}=\pm\frac{1}{2\sqrt{3}} \end{aligned}$

따라서 타원 위에서 접선이 직선 $y=x$ 와 평행한 점은 $y=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$ 이고 $x=-3y$ 일 때, 그리고 $y=\dfrac{-1}{2\sqrt{3}}$ 이고 $x=-3y$ 일 때이다. 즉, 점 $\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)$ 와 $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{-1}{2\sqrt{3}}\right)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 음함수의 미분법계산보통자동 분류