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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

음함수의 미분법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.11절 · 11번우리말 번역

타원 x2+3y2=1x^2+3y^2=1 위의 어느 점에서 접선이 직선 y=xy=x 와 평행합니까?

영어 원문 보기

At what points on the ellipse x2+3y2=1x^2+3y^2=1 is the tangent line parallel to the line y=xy=x?

정답·풀이 보기

문제는 타원 위의 어느 점에서 dydx=1\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{}=1 인지를 묻고 있다. 따라서 먼저 음함수 미분을 한다.

2x+6ydydx=0이 단계에서 dydx 에 대해 풀 수도 있지만, 그럴 필요는 없다. dydx 가 1이 되는 경우를 알고 싶다:2x+6y(1)=0x=−3y즉, 타원 위의 점 중 x=−3y 인 점에서 dydx=1 이다. 이를 타원의 방정식에 대입하여 이 점들의 좌표를 구한다.(−3y)2+3y2=112y2=1y=±112=±123\begin{aligned} 2x+6y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \\ \text{이 단계에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 에 대해 풀 수도 있지만, 그럴 필요는 없다. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 가 1이 되는 경우를 알고 싶다:} \\ 2x+6y(1)&=0\\ x&=-3y \\ \text{즉, 타원 위의 점 중 $x=-3y$ 인 점에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1$ 이다. 이를 타원의 방정식에 대입하여 이 점들의 좌표를 구한다.} \\ \left(-3y\right)^2+3y^2&=1\\ 12y^2&=1\\ y=\pm\frac{1}{\sqrt{12}}=\pm\frac{1}{2\sqrt{3}} \end{aligned}

따라서 타원 위에서 접선이 직선 y=xy=x 와 평행한 점은 y=123y=\dfrac{1}{2\sqrt{3}} 이고 x=−3yx=-3y 일 때, 그리고 y=−123y=\dfrac{-1}{2\sqrt{3}} 이고 x=−3yx=-3y 일 때이다. 즉, 점 (−32,123)\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right) 와 (32,−123)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{-1}{2\sqrt{3}}\right) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The question asks at which points on the ellipse dydx=1\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{}=1. So, we begin by differentiating, implicitly:

2x+6ydydx=0We could solve for dydx at this point, but it’s not necessary. We want to know when dydx is equal to one:2x+6y(1)=0x=−3yThat is, dydx=1 at those points along the ellipse where x=−3y. We plug this into the equation of the ellipse to find the coordinates of these points.(−3y)2+3y2=112y2=1y=±112=±123\begin{aligned} 2x+6y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \\ \text{We could solve for $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ at this point, but it's not necessary. We want to know when $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ is equal to one:} \\ 2x+6y(1)&=0\\ x&=-3y \\ \text{That is, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1$ at those points along the ellipse where $x=-3y$. We plug this into the equation of the ellipse to find the coordinates of these points.} \\ \left(-3y\right)^2+3y^2&=1\\ 12y^2&=1\\ y=\pm\frac{1}{\sqrt{12}}=\pm\frac{1}{2\sqrt{3}} \end{aligned}

So, the points along the ellipse where the tangent line is parallel to the line y=xy=x occur when y=123y=\dfrac{1}{2\sqrt{3}} and x=−3yx=-3y, and when y=−123y=\dfrac{-1}{2\sqrt{3}} and x=−3yx=-3y. That is, the points (−32,123)\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right) and (32,−123)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{-1}{2\sqrt{3}}\right).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.11절 · 6번우리말 번역

x2tan⁡(πy/4)+2xlog⁡(y)=16x^2\tan(\pi y/4)+2x\log(y) = 16 일 때, y=1y=1 인 점에서 y′y' 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인
  • 먼저 y=1y=1 일 때의 xx 좌표를 구한다.

x2tan⁡(π4)+2xlog⁡(1)=16x2⋅1+2x⋅0=16x2=16\begin{aligned} x^2\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)+2x\log(1) &= 16 \\ x^2\cdot 1 +2x\cdot 0 &=16\\ x^2 &= 16\\ \end{aligned}

따라서 x=±4x=\pm 4 이다.

  • 이제 음함수 미분을 이용하여 y′y' 을 x,yx,y 로 나타낸다.

x2tan⁡(πy/4)+2xlog⁡(y)=162xtan⁡(πy/4)+x2π4sec⁡2(πy/4)⋅y′+2log⁡(y)+2xy⋅y′=0 .\begin{aligned} x^2\tan(\pi y/4)+2x\log(y) &= 16\\ 2x\tan(\pi y/4) + x^2 \frac{\pi}{4}\sec^2(\pi y/4)\cdot y' + 2\log(y) + \frac{2x}{y} \cdot y' &= 0\,.\\ \end{aligned}

  • 이제 y=1y=1 을 대입하고 tan⁡(π/4)=1 ,sec⁡(π/4)=2\tan(\pi/4)=1\,, \sec(\pi/4)=\sqrt{2} 를 이용하면 다음을 얻는다.

2xtan⁡(π/4)+x2π4sec⁡2(π/4)y′+2log⁡(1)+2x⋅y′=02x+π2x2y′+2xy′=0y′=−2xx2π/2+2x=−4πx+4\begin{aligned} 2x\tan(\pi/4) + x^2 \frac{\pi}{4} \sec^2(\pi/4)y' + 2\log(1) + 2x\cdot y' &= 0\\ 2x + \frac{\pi}{2} x^2 y' +2x y' &= 0 \\ y' = -\frac{2x}{x^2 \pi/2 + 2x} &= -\frac{4}{\pi x + 4} \\ \end{aligned}

  • 따라서 (x,y)=(4,1)(x,y)=(4,1) 에서 y′=−44π+4=−1π+1y' = -\dfrac{4}{4\pi+4} = -\dfrac{1}{\pi + 1} 이다.
  • 그리고 (x,y)=(−4,1)(x,y)=(-4,1) 에서 y′=1π−1y' = \dfrac{1}{\pi-1} 이다.
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# 음함수의 미분법계산보통자동 분류

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