음함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.11절 · 6번

CLP-1 · 2.11절 · 6번우리말 번역

$x^2\tan(\pi y/4)+2x\log(y) = 16$ 일 때, $y=1$ 인 점에서 $y'$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

If $x^2\tan(\pi y/4)+2x\log(y) = 16$ , then find $y'$ at the points where $y=1$ .

정답·풀이 보기

먼저 $y=1$ 일 때의 $x$ 좌표를 구한다.

$\begin{aligned} x^2\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)+2x\log(1) &= 16 \\ x^2\cdot 1 +2x\cdot 0 &=16\\ x^2 &= 16\\ \end{aligned}$

따라서 $x=\pm 4$ 이다.

이제 음함수 미분을 이용하여 $y'$ 을 $x,y$ 로 나타낸다.

$\begin{aligned} x^2\tan(\pi y/4)+2x\log(y) &= 16\\ 2x\tan(\pi y/4) + x^2 \frac{\pi}{4}\sec^2(\pi y/4)\cdot y' + 2\log(y) + \frac{2x}{y} \cdot y' &= 0\,.\\ \end{aligned}$

이제 $y=1$ 을 대입하고 $\tan(\pi/4)=1\,, \sec(\pi/4)=\sqrt{2}$ 를 이용하면 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} 2x\tan(\pi/4) + x^2 \frac{\pi}{4} \sec^2(\pi/4)y' + 2\log(1) + 2x\cdot y' &= 0\\ 2x + \frac{\pi}{2} x^2 y' +2x y' &= 0 \\ y' = -\frac{2x}{x^2 \pi/2 + 2x} &= -\frac{4}{\pi x + 4} \\ \end{aligned}$

따라서 $(x,y)=(4,1)$ 에서 $y' = -\dfrac{4}{4\pi+4} = -\dfrac{1}{\pi + 1}$ 이다.
그리고 $(x,y)=(-4,1)$ 에서 $y' = \dfrac{1}{\pi-1}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First we find the $x$ -coordinates where $y=1$ .

$\begin{aligned} x^2\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)+2x\log(1) &= 16 \\ x^2\cdot 1 +2x\cdot 0 &=16\\ x^2 &= 16\\ \end{aligned}$

So $x=\pm 4$ .

Now we use implicit differentiation to get $y'$ in terms of $x,y$ :

$\begin{aligned} x^2\tan(\pi y/4)+2x\log(y) &= 16\\ 2x\tan(\pi y/4) + x^2 \frac{\pi}{4}\sec^2(\pi y/4)\cdot y' + 2\log(y) + \frac{2x}{y} \cdot y' &= 0\,.\\ \end{aligned}$

Now set $y=1$ and use $\tan(\pi/4)=1\,, \sec(\pi/4)=\sqrt{2}$ to get

So at $(x,y)=(4,1)$ we have $y' = -\dfrac{4}{4\pi+4} = -\dfrac{1}{\pi + 1}$
and at $(x,y)=(-4,1)$ we have $y' = \dfrac{1}{\pi-1}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.11절 · 10번우리말 번역

$x^2\cos(y)+2xe^y = 8$ 이면, $y=0$ 인 점에서 $y'$ 을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

먼저 $y=0$ 인 $x$ 좌표를 구한다.

$\begin{aligned} x^2\cos(0)+2xe^0 &= 8 \\ x^2 +2x - 8 &=0\\ (x+4)(x-2)&=0 \end{aligned}$

따라서 $x=2,-4$ 이다.

이제 음함수 미분을 이용하여 $y'$ 을 $x,y$ 로 나타내면 다음과 같다.

$\begin{aligned} x^2\cos(y)+2xe^y &= 8 & \text{양변을 미분} \\ x^2 \cdot (-\sin y) \cdot y' + 2x \cos y + 2xe^y \cdot y' + 2e^y &= 0 \end{aligned}$

이제 $y=0$ 을 대입하면

$\begin{aligned} x^2 \cdot (-\sin 0) \cdot y' + 2x \cos 0 + 2xe^0 \cdot y' + 2e^0 &= 0 \\ 0 + 2x + 2xy' + 2 &=0 \\ y' &= - \frac{2+2x}{2x} = -\frac{1+x}{x} \end{aligned}$

따라서 $(x,y)=(2,0)$ 에서 $y' = -\frac{3}{2}$ 이고,
$(x,y)=(-4,0)$ 에서 $y' = -\frac{3}{4}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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