음함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.11절 · 10번

CLP-1 · 2.11절 · 10번우리말 번역

$x^2\cos(y)+2xe^y = 8$ 이면, $y=0$ 인 점에서 $y'$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

If $x^2\cos(y)+2xe^y = 8$ , then find $y'$ at the points where $y=0$ .

정답·풀이 보기

먼저 $y=0$ 인 $x$ 좌표를 구한다.

$\begin{aligned} x^2\cos(0)+2xe^0 &= 8 \\ x^2 +2x - 8 &=0\\ (x+4)(x-2)&=0 \end{aligned}$

따라서 $x=2,-4$ 이다.

이제 음함수 미분을 이용하여 $y'$ 을 $x,y$ 로 나타내면 다음과 같다.

$\begin{aligned} x^2\cos(y)+2xe^y &= 8 & \text{양변을 미분} \\ x^2 \cdot (-\sin y) \cdot y' + 2x \cos y + 2xe^y \cdot y' + 2e^y &= 0 \end{aligned}$

이제 $y=0$ 을 대입하면

$\begin{aligned} x^2 \cdot (-\sin 0) \cdot y' + 2x \cos 0 + 2xe^0 \cdot y' + 2e^0 &= 0 \\ 0 + 2x + 2xy' + 2 &=0 \\ y' &= - \frac{2+2x}{2x} = -\frac{1+x}{x} \end{aligned}$

따라서 $(x,y)=(2,0)$ 에서 $y' = -\frac{3}{2}$ 이고,
$(x,y)=(-4,0)$ 에서 $y' = -\frac{3}{4}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First we find the $x$ -coordinates where $y=0$ .

$\begin{aligned} x^2\cos(0)+2xe^0 &= 8 \\ x^2 +2x - 8 &=0\\ (x+4)(x-2)&=0 \end{aligned}$

So $x=2,-4$ .

Now we use implicit differentiation to get $y'$ in terms of $x,y$ :

$\begin{aligned} x^2\cos(y)+2xe^y &= 8 & \text{differentiate both sides} \\ x^2 \cdot (-\sin y) \cdot y' + 2x \cos y + 2xe^y \cdot y' + 2e^y &= 0 \end{aligned}$

Now set $y=0$ to get

$\begin{aligned} x^2 \cdot (-\sin 0) \cdot y' + 2x \cos 0 + 2xe^0 \cdot y' + 2e^0 &= 0 \\ 0 + 2x + 2xy' + 2 &=0 \\ y' &= - \frac{2+2x}{2x} = -\frac{1+x}{x} \end{aligned}$

So at $(x,y)=(2,0)$ we have $y' = -\frac{3}{2}$ ,
and at $(x,y)=(-4,0)$ we have $y' = -\frac{3}{4}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.11절 · 7번우리말 번역

$x^3+y^4 = \cos(x^2+y)$ 일 때, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

등식을 미분하여 푼다.

$\begin{aligned} 3x^2 + 4y^3 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= -\sin(x^2+y) \cdot\left(2x + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= -\frac{2x\sin(x^2+y)+3x^2}{4y^3+\sin(x^2+y)} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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