음함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.11절 · 14번

CLP-1 · 2.11절 · 14번우리말 번역

$x^2+(y+1)e^y = 5$ 일 때, $y=0$ 인 점에서 $y'$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

If $x^2+(y+1)e^y = 5$ , then find $y'$ at the points where $y=0$ .

정답·풀이 보기

먼저 $y=0$ 인 점의 $x$ 좌표를 구한다.

$\begin{aligned} x^2+(1)e^0 &= 5 \\ x^2 +1 &=5\\ x^2&=4 \end{aligned}$

따라서 $x=2,-2$ 이다.

이제 음함수 미분을 이용하여 $y'$ 을 $x,y$ 에 관한 식으로 나타낸다.

$\begin{aligned} 2x+(y+1)e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \end{aligned}$

이제 $y=0$ 을 대입하면

$\begin{aligned} 2x+(0+1)e^0\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+e^0\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0\\ 2x+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0\\ 2x&=-2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ x&=-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$

따라서 $(x,y)=(2,0)$ 에서 $y' = -2$ 이고,
$(x,y)=(-2,0)$ 에서 $y' = 2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First we find the $x$ -ordinates where $y=0$ .

$\begin{aligned} x^2+(1)e^0 &= 5 \\ x^2 +1 &=5\\ x^2&=4 \end{aligned}$

So $x=2,-2$ .

Now we use implicit differentiation to get $y'$ in terms of $x,y$ :

$\begin{aligned} 2x+(y+1)e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \end{aligned}$

Now set $y=0$ to get

So at $(x,y)=(2,0)$ we have $y' = -2$ ,
and at $(x,y)=(-2,0)$ we have $y' = 2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.8절 · 24번우리말 번역

[계산기 사용] 제조업체가 노동에 $x$ 달러, 투자된 자본에 $y$ 달러를 사용할 때 생산되는 휴대전화의 수는 방정식 $60{x}^{3/4}{y}^{1/4}=3240$ 으로 나타낼 수 있다.

a. $\frac{dy}{dx}$ 를 구하고, 점 $(81,16)$ 에서의 값을 구하세요. b. a의 결과를 해석하세요.

다 풀었으면 정답 확인

a. $-0.5926$ b. 노동에 $81, 자본에 $16을 사용할 때, 노동에 $1을 더 사용할 때마다 자본에 사용하는 금액은 $0.5926씩 감소한다.

이 문제로 이어서 풀기

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