롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — CLP-1 · 2.13절 · 2번

CLP-1 · 2.13절 · 2번우리말 번역

이동하는 캐나다두루미 한 마리가 하루 동안 240 킬로미터를 날았다고 하자. 평균값 정리는 그날 이 두루미의 속력에 대해 무엇을 말해 주나요?

영어 원문 보기

Suppose a migrating sandhill crane flew 240 kilometres in one day. What does the mean value theorem tell you about its speed during that day?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 가 시간 $x$ (단위: 시간)에서의 두루미의 위치라 하면, ( $x=0$ 을 그날의 시작으로 두면) $f(24)-f(0)=240$ 임을 알 수 있다. $f(x)$ 는 새의 위치이므로 $f(x)$ 는 연속이고 미분가능하다. 따라서 평균값 정리에 의해 $(0,24)$ 에 속하는 어떤 $c$ 가 존재하여 $f'(x)=\dfrac{f(24)-f(0)}{24-0}=\dfrac{240}{24}=10$ 이다. 즉, 그날 어느 한 시점 $c$ 에서 두루미의 속력은 정확히 시속 10 킬로미터였다.

원본 교재 풀이(영어)

If $f(x)$ is the position of the crane at time $x$ , measured in hours, then (if we let $x=0$ be the beginning of the day) we know that $f(24)-f(0)=240$ . Since $f(x)$ is the position of the bird, $f(x)$ is continuous and differentiable. So, the MVT says there is a $c$ in $(0,24)$ such that $f'(x)=\dfrac{f(24)-f(0)}{24-0}=\dfrac{240}{24}=10$ . That is, at some point $c$ during the day, the speed of the crane was exactly 10 kph.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.13절 · 1번우리말 번역

어떤 순록의 최고 속력이 시속 70 km이고, 1년 동안 5000 km를 이동한다고 합시다. 이 순록이 이동하는 동안 걸은 시간에 대해 무엇을 알 수 있나요?

다 풀었으면 정답 확인

순록의 최고 속력을 알고 있으므로, 이를 이용하여 순록이 이동하는 데 쓴 시간의 가능한 최솟값을 구할 수 있다. 순록이 시속 70 km로 이동하면 5000킬로미터를 이동하는 데 $(5000 \mathrm{km})\left(\dfrac{1 \mathrm{hr}}{70 \mathrm{km}}\right) \approx 71.4 \mathrm{hrs}$ 가 걸린다. 순록이 내내 전속력으로 달리지는 않았을 것이므로 아마 그보다 더 오래 걸렸겠지만, 순록이 이동하는 데 적어도 약 71.4시간을 썼다는 것만은 확실하게 말할 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기

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