롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — CLP-1 · 2.13절 · 5번

CLP-1 · 2.13절 · 5번우리말 번역

아래 각 부분에 대해, 모든 실수에서 연속이고 미분가능하며 $f(1)=f(2)=0$ 이고 제시된 성질을 갖는 함수 $f(x)$ (각 부분마다 서로 다른 함수)의 그래프를 그리세요. 그런 함수가 존재하지 않는다면 그 이유를 설명하세요.

(a) $f'(c)=0$ 인 점 $c \in (1,2)$ 가 없다 (b) $f'(c)=0$ 인 점 $c \in (1,2)$ 가 정확히 하나 있다 (c) $f'(c)=0$ 인 점 $c \in (1,2)$ 가 정확히 다섯 개 있다 (d) $f'(c)=0$ 인 점 $c \in (1,2)$ 가 무수히 많이 있다

영어 원문 보기

For each of the parts below, sketch a function $f(x)$ (different in each part) that is continuous and differentiable over all real numbers, with $f(1)=f(2)=0$ , and with the listed property, or explain why no such function exists.

(a) $f'(c)=0$ for no point $c \in (1,2)$ (b) $f'(c)=0$ for exactly one point $c \in (1,2)$ (c) $f'(c)=0$ for exactly five points $c \in (1,2)$ (d) $f'(c)=0$ for infinitely many points $c \in (1,2)$

정답·풀이 보기

(a) 그런 함수는 존재할 수 없다. 롤의 정리에 의해 적어도 한 점 $c \in (1,2)$ 에서 $f'(c)=0$ 이 보장된다.

나머지 함수들의 예는 아래와 같으나, 가능한 답은 많다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) No such function is possible: Rolle's Theorem guarantees $f'(c)=0$ for at least one point $c \in (1,2)$ .

For the other functions, examples are below, but many answers are possible.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.13절 · 2번우리말 번역

이동하는 캐나다두루미 한 마리가 하루 동안 240 킬로미터를 날았다고 하자. 평균값 정리는 그날 이 두루미의 속력에 대해 무엇을 말해 주나요?

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)$ 가 시간 $x$ (단위: 시간)에서의 두루미의 위치라 하면, ( $x=0$ 을 그날의 시작으로 두면) $f(24)-f(0)=240$ 임을 알 수 있다. $f(x)$ 는 새의 위치이므로 $f(x)$ 는 연속이고 미분가능하다. 따라서 평균값 정리에 의해 $(0,24)$ 에 속하는 어떤 $c$ 가 존재하여 $f'(x)=\dfrac{f(24)-f(0)}{24-0}=\dfrac{240}{24}=10$ 이다. 즉, 그날 어느 한 시점 $c$ 에서 두루미의 속력은 정확히 시속 10 킬로미터였다.

이 문제로 이어서 풀기

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석기본자동 분류