롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — CLP-1 · 2.13절 · 6번

CLP-1 · 2.13절 · 6번우리말 번역

함수 $f(x)=\sqrt{|x|}$ 가 기울기 $\frac{1}{13}$ 인 접선을 갖는 점이 존재함을 보이려고 한다. 다음 풀이에서 잘못된 부분을 모두 찾고, 올바른 증명을 쓰세요.

함수 $f(x)$ 는 모든 실수에서 연속이고 미분가능하므로 평균값 정리를 적용할 수 있다. $f(-4)=2$ 이고 $f(9)=3$ 이므로, 평균값 정리에 의해 다음을 만족하는 $c \in (-4,9)$ 가 존재한다. $f'(x) = \dfrac{3-2}{9-(-4)}=\dfrac{1}{13}$ .

영어 원문 보기

Suppose you want to show that a point exists where the function $f(x)=\sqrt{|x|}$ has a tangent line with slope $\frac{1}{13}$ . Find the mistake(s) in the following work, and give a correct proof.

The function $f(x)$ is continuous and differentiable over all real numbers, so the mean value theorem applies. $f(-4)=2$ and $f(9)=3$ , so by the mean value theorem, there exists some $c \in (-4,9)$ such that $f'(x) = \dfrac{3-2}{9-(-4)}=\dfrac{1}{13}$ .

정답·풀이 보기

함수 $f(x)$ 는 모든 실수에서 연속이지만, $x \neq 0$ 일 때만 미분가능하다. 따라서 평균값 정리를 적용하려면 구간이 양수만으로 또는 음수만으로 이루어져야 한다. 구간 $(-4,13)$ 은 적절하지 않다.

평균값 정리를 이용해서 원하는 것을 증명할 수 있다. $a=1$ , $b=144$ 이면 구간 $(1,144)$ 에 0이 포함되지 않으므로 $f(x)$ 는 이 구간에서 미분가능하고, $f(x)$ 는 모든 곳에서 연속이다. 따라서 평균값 정리에 의해 $f'(x)=\dfrac{\sqrt{|144|}-\sqrt{|1|}}{144-1}=\dfrac{11}{143}=\dfrac{1}{13}$ 인 점 $c$ 가 존재한다.

그렇지만 그런 점이 존재함을 보이는 더 쉬운 방법은 평균값 정리를 쓰지 않고 그 점을 직접 찾는 것이다. $x>0$ 일 때 $f(x)=\sqrt{x}$ 이므로 $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt {x}}$ 이다. 그러면 $f'\left(\dfrac{169}{4}\right)=\dfrac{1}{13}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function $f(x)$ is continuous over all real numbers, but it is only differentiable when $x \neq 0$ . So, if we want to apply the MVT, our interval must consist of only positive numbers or only negative numbers: the interval $(-4,13)$ is not valid.

It is possible to use the mean value theorem to prove what we want: if $a=1$ and $b=144$ , then $f(x)$ is differentiable over the interval $(1,144)$ (since 0 is not contained in that interval), and $f(x)$ is continuous everywhere, so by the mean value theorem there exists some point $c$ where $f'(x)=\dfrac{\sqrt{|144|}-\sqrt{|1|}}{144-1}=\dfrac{11}{143}=\dfrac{1}{13}$ .

That being said, an easier way to prove that a point exists is to simply find it–without using the MVT. When $x>0$ , $f(x)=\sqrt{x}$ , so $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt {x}}$ . Then $f'\left(\dfrac{169}{4}\right)=\dfrac{1}{13}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.13절 · 7번우리말 번역

$f(x)=x^2-2\pi x+ \cos(x)-1$ 이라 하자. $f'(c)=0$ 인 실수 $c$ 가 존재함을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f(0)=f(2\pi)=0$ 임에 주목한다. 그러면 평균값 정리를 이용하여(이 함수는 모든 실수에서 미분가능하다) 다음을 만족하는 $c$ 가 $(0,2\pi)$ 에 존재한다고 결론지을 수 있다. $f'(c)=\frac{f(2\pi)- f(0)}{2\pi - 0} = 0.$

이 문제로 이어서 풀기

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술기본자동 분류