롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — CLP-1 · 2.13절 · 11번

CLP-1 · 2.13절 · 11번우리말 번역

함수 $f(x)=3x-\sin x$ 의 근은 몇 개인가요?

영어 원문 보기

How many roots does the function $f(x)=3x-\sin x$ have?

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간단히 살펴보면 $x=0$ 은 $f(x)$ 의 근이다. 이제 다른 근이 있을 수 있는지가 문제이다. $f(x)$ 는 모든 실수에서 미분가능하므로, 또 다른 근 $a$ 가 있다면 롤의 정리에 의해 $0$ 과 $a$ 사이의 어떤 $c$ 에 대해 $f'(c)=0$ 이다. 그런데 $f'(x)=3-\cos x$ 는 결코 $0$ 이 되지 않는다. 따라서 두 번째 근은 없으며, $f(x)$ 의 근은 정확히 하나이다.

원본 교재 풀이(영어)

By inspection, we see $x=0$ is a root of $f(x)$ . The question now is whether there could possibly be other roots. Since $f(x)$ is differentiable over all real numbers, if there is another root $a$ , then by Rolle's Theorem, $f'(c)=0$ for some $c$ strictly between $0$ and $a$ . However, $f'(x)=3-\cos x$ is never zero. So, there is no second root: $f(x)$ has precisely one root.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.13절 · 10번우리말 번역

$f(x)=x\cos(x) - x\sin(x)$ 라 하자. $f'(c)=0$ 인 실수 $c$ 가 존재함을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f(0)=0$ 이고 $f(\pi/4)=0$ 임에 주목한다. 그러면 평균값 정리를 이용하여(이 함수는 모든 실수에서 미분가능함에 유의한다) $c\in (0,\pi/4)$ 이고 $f'(c)=\frac{f(\pi/4)- f(0)}{\pi/4 - 0} = 0.$ 인 $c$ 가 존재한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 롤의 정리와 평균값 정리계산보통자동 분류