롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — CLP-1 · 2.13절 · 16번

CLP-1 · 2.13절 · 16번우리말 번역

구간 $[0, T]$ 에서 함수 $e^x$ 에 대해 평균값 정리가 보장하는 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point promised by the Mean Value Theorem for the function $e^x$ on the interval $[0, T]$ .

정답·풀이 보기

$f(x)=e^x$ 라 하자. $f(x)$ 는 연속이고 미분가능하므로, 평균값 정리에 의해 $0$ 과 $T$ 사이에

$\begin{aligned} f'(c)&=\frac{f(T)-f(0)}{T-0} \\ \text{문제는 이 $c$ 의 값을 구하는 것이다. 풀면:} \\ e^c&=\frac{e^T-e^0}{T}\\ e^c&=\frac{e^T-1}{T}\\ c&=\log\left(\frac{e^T-1}{T}\right) \end{aligned}$

를 만족하는 $c$ 가 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

Write $f(x)=e^x$ . Since $f(x)$ is continuous and differentiable, the Mean Value Theorem asserts that there exists some $c$ between $0$ and $T$ such that

$\begin{aligned} f'(c)&=\frac{f(T)-f(0)}{T-0} \\ \text{The problem asks us to find this value of $c$. Solving:} \\ e^c&=\frac{e^T-e^0}{T}\\ e^c&=\frac{e^T-1}{T}\\ c&=\log\left(\frac{e^T-1}{T}\right) \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.4절 · 32번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\ln (x+1)$ ( $[0,e-1]$ 에서)

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

예

이 문제로 이어서 풀기

# 롤의 정리와 평균값 정리계산보통자동 분류