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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

도함수의 뜻

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.2절 · 3번우리말 번역

함수 f(x)f(x) 의 그래프가 그림과 같다. 다음 중 도함수 dfdx\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} 를 설명하는 것을 모두 고르세요:

(a) 상수 (b) 증가 (c) 감소 (d) 항상 양수 (e) 항상 음수

그림

영어 원문 보기

The function f(x)f(x) is shown. Select all options below that describe its derivative, dfdx\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}:

(a) constant (b) increasing (c) decreasing (d) always positive (e) always negative

figure

정답·풀이 보기

그래프의 왼쪽 끝에서 ff 는 빠르게 감소하므로 f′f' 은 절댓값이 큰 음수이다. 그다음 x=0x=0 쪽으로 갈수록 ff 는 덜 빠르게 감소하므로 f′f' 은 절댓값이 더 작은 음수이다. 0 을 지나면 ff 는 증가하므로 f′f' 은 양수이다. 오른쪽으로 갈수록 ff 는 점점 더 빠르게 증가하므로 f′f' 은 증가하는 양수이다. 이로부터 f′f' 은 그림에 나타난 구간 전체에서 증가함을 알 수 있다. 따라서 (b)는 성립하고 (a)와 (c)는 성립하지 않는다. 또 f′f' 은 yy 축의 왼쪽에서 음수이고 오른쪽에서 양수이므로 (d)와 (e)도 성립하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

At the left end of the graph, ff is decreasing rapidly, so f′f' is a strongly negative number. Then as we move towards x=0x=0, ff decreases less rapidly, so f′f' is a less strongly negative number. As we pass 0, ff increases, so f′f' is a positive number. As we move to the right, ff increases more and more rapidly, so f′f' is an increasing positive number. This description tells us that f′f' increases for the entire range shown. So (b) holds, but not (a) or (c). Since f′f' is negative to the left of the yy axis, and positive to the right of it, also (d) and (e) do not hold.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.2절 · 13번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 함수 f(x)=1x2+3f(x)=\frac{1}{x^2+3} 의 도함수를 구하세요.

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f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01h(1(x+h)2+3−1x2+3)=lim⁡h→01hx2−(x+h)2[(x+h)2+3][x2+3]=lim⁡h→01h−2xh−h2[(x+h)2+3][x2+3]=lim⁡h→0−2x−h[(x+h)2+3][x2+3]=−2x[x2+3]2\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\frac{1}{(x+h)^2+3} -\frac{1}{x^2+3}\Big) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{x^2-(x+h)^2}{[(x+h)^2+3][x^2+3]}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{-2xh-h^2}{[(x+h)^2+3][x^2+3]} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2x-h}{[(x+h)^2+3][x^2+3]} =\boxed{\frac{-2x}{[x^2+3]^2}} \end{aligned}

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# 도함수의 뜻그래프·표 해석기본자동 분류

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