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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

도함수의 뜻

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.2절 · 13번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 함수 f(x)=1x2+3f(x)=\frac{1}{x^2+3} 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to compute the derivative of the function f(x)=1x2+3f(x)=\frac{1}{x^2+3}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01h(1(x+h)2+3−1x2+3)=lim⁡h→01hx2−(x+h)2[(x+h)2+3][x2+3]=lim⁡h→01h−2xh−h2[(x+h)2+3][x2+3]=lim⁡h→0−2x−h[(x+h)2+3][x2+3]=−2x[x2+3]2\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\frac{1}{(x+h)^2+3} -\frac{1}{x^2+3}\Big) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{x^2-(x+h)^2}{[(x+h)^2+3][x^2+3]}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{-2xh-h^2}{[(x+h)^2+3][x^2+3]} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2x-h}{[(x+h)^2+3][x^2+3]} =\boxed{\frac{-2x}{[x^2+3]^2}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01h(1(x+h)2+3−1x2+3)=lim⁡h→01hx2−(x+h)2[(x+h)2+3][x2+3]=lim⁡h→01h−2xh−h2[(x+h)2+3][x2+3]=lim⁡h→0−2x−h[(x+h)2+3][x2+3]=−2x[x2+3]2\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\frac{1}{(x+h)^2+3} -\frac{1}{x^2+3}\Big) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{x^2-(x+h)^2}{[(x+h)^2+3][x^2+3]}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{-2xh-h^2}{[(x+h)^2+3][x^2+3]} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2x-h}{[(x+h)^2+3][x^2+3]} =\boxed{\frac{-2x}{[x^2+3]^2}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.2절 · 20번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 극한은 x=ax=a 에서 함수 y=f(x)y=f(x) 의 미분계수를 나타낸다. f(x)f(x) 와 aa 를 구하세요.

lim⁡h→0eh−1h\lim_{h\to 0}\frac{{e}^{h}-1}{h}

다 풀었으면 정답 확인

f(x)=ex,a=0f(x)={e}^{x},a=0

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