도함수의 뜻 연습문제 — CLP-1 · 2.2절 · 4번

CLP-1 · 2.2절 · 4번우리말 번역

$f(x) = x^3$ 이 $x = 0$ 에서 미분가능하다는 것이 무엇을 뜻하는지 극한을 이용하여 서술하세요.

영어 원문 보기

State, in terms of a limit, what it means for $f(x) = x^3$ to be differentiable at $x = 0$ .

정답·풀이 보기

정의에 따라 극한 $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^3-0}{h}$ 이 존재하면 $f(x) = x^3$ 은 $x = 0$ 에서 미분가능하다.

원본 교재 풀이(영어)

By definition, $f(x) = x^3$ is differentiable at $x = 0$ if the limit $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^3-0}{h}$ exists.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.2절 · 12번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 함수 $f(x)=\frac{2}{x+1}$ 의 도함수를 구하세요.

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도함수의 정의를 세운다.

$\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\frac{2}{x+h+1} -\frac{2}{x+1}\Big) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\ \frac{(x+1)-(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\ \frac{-h}{(x+h+1)(x+1)} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2}{(x+h+1)(x+1)} =\frac{-2}{(x+1)^2} \end{aligned}$

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# 도함수의 뜻계산기본자동 분류