도함수의 뜻 연습문제 — CLP-1 · 2.2절 · 8번

CLP-1 · 2.2절 · 8번우리말 번역

$s(t)$ 가 함수이고, $t$ 는 초 단위로, $s$ 는 미터 단위로 측정된다고 하자. 이때 $s'(t)$ 의 단위를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $s(t)$ is a function, with $t$ measured in seconds, and $s$ measured in metres. What are the units of $s'(t)$ ?

정답·풀이 보기

도함수의 정의를 이용하면, $s'(t)=\lim_{h \to 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}$ 분자의 단위는 미터이고, 분모의 단위는 초이다(분모는 함수의 입력의 변화에서 나오기 때문이다). 따라서 $s'(t)$ 의 단위는 초당 미터이다.

참고: 위치 함수의 도함수가 속도를 준다는 것을 배웠다. 이 예에서 위치는 미터로 주어지고, 속도는 초당 미터로 측정된다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the definition of the derivative, $s'(t)=\lim_{h \to 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}$ The units of the numerator are meters, and the units of the denominator are seconds (since the denominator comes from the change in the input of the function). So, the units of $s'(t)$ are metres per second.

Remark: we learned that the derivative of a position function gives velocity. In this example, the position is given in metres, and the velocity is measured in metres per second.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.2절 · 9번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 곡선 $y(x)=x^3+5$ 위의 점 $(1,6)$ 에서의 접선의 방정식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

한 점과 그 점에서의 기울기를 알면 점-기울기 꼴로 직선의 방정식을 구할 수 있다. 점은 $(1,6)$ 으로 주어져 있다. 기울기는 미분계수이다.

$\begin{aligned} y'(1)&=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{y(1+h)-y(1)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{[(1+h)^3+5]-[1^3+5]}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{[1+3h+3h^2+h^3+5]-[1+5]}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{3h+3h^2+h^3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}{3+3h+h^2}\\ &=3 \end{aligned}$

따라서 기울기는 3이고, 직선의 방정식은 $y-6=3(x-1)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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