CLP-1 · 2.2절 · 10번우리말 번역도함수의 정의를 이용하여 f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1 의 도함수를 구하세요. 영어 원문 보기Use the definition of the derivative to find the derivative of f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1. 풀이 공책 펴기한 줄씩 식 확인답 쓰고 채점채점정답·풀이 보기도함수의 정의를 세운다. f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→01x+h−1xh=limh→0xx(x+h)−x+hx(x+h)h=limh→0x−(x+h)x(x+h)h=limh→0−hx(x+h)h=limh→0−1x(x+h)=−1x2\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x}{x(x+h)}-\frac{x+h}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-1}{x(x+h)}\\ &=\frac{-1}{x^2} \end{aligned}f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limhx+h1−x1=h→0limhx(x+h)x−x(x+h)x+h=h→0limhx(x+h)x−(x+h)=h→0limhx(x+h)−h=h→0limx(x+h)−1=x2−1 원본 교재 풀이(영어)We set up the definition of the derivative. f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→01x+h−1xh=limh→0xx(x+h)−x+hx(x+h)h=limh→0x−(x+h)x(x+h)h=limh→0−hx(x+h)h=limh→0−1x(x+h)=−1x2\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x}{x(x+h)}-\frac{x+h}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-1}{x(x+h)}\\ &=\frac{-1}{x^2} \end{aligned}f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limhx+h1−x1=h→0limhx(x+h)x−x(x+h)x+h=h→0limhx(x+h)x−(x+h)=h→0limhx(x+h)−h=h→0limx(x+h)−1=x2−1 한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.2절 · 26번우리말 번역점 (1,−3)(1,-3)(1,−3) 을 지나고 곡선 y=x2y = x^2y=x2 에 접하는 서로 다른 직선이 두 개 있습니다. 이 두 직선의 방정식을 구하세요. 참고: 점 (1,−3)(1,-3)(1,−3) 은 곡선 y=x2y=x^2y=x2 위에 있지 않습니다. 풀이 공책 펴기한 줄씩 식 확인답 쓰고 채점채점다 풀었으면 정답 확인y′=2xy'=2xy′=2x 임을 안다. 따라서 곡선 y=x2y=x^2y=x2 위의 점 (α,α2)(\alpha,\alpha^2)(α,α2) 을 택하면, 그 점에서 곡선의 접선의 기울기는 2α2\alpha2α 이다. 즉, 접선의 방정식은 (y−α2)=2α(x−α)간단히 하면, y=(2α)x−α2따라서 (1,−3) 이 접선 위에 있으면−3=(2α)(1)−α2 ⟺ 0=α2−2α−3 ⟺ 0=(α−3)(α+1) ⟺ α=3,또는α=−1.따라서 접선 y=(2α)x−α2 은y=6x−9와y=−2x−1.\begin{aligned} (y-\alpha^2)&=2\alpha(x-\alpha)\\ \text{간단히 하면, } \qquad y&=(2\alpha)x-\alpha^2 \\ \text{따라서 $(1,-3)$ 이 접선 위에 있으면} \\ -3&=(2\alpha)(1)-\alpha^2\\ \iff\qquad 0&=\alpha^2-2\alpha-3\\ \iff\qquad 0&=(\alpha-3)(\alpha+1)\\ \iff\qquad \alpha&=3, \quad\text{또는}\qquad \alpha=-1. \\ \text{따라서 접선 $y=(2\alpha)x-\alpha^2$ 은} \\ y&=6x-9 \quad\text{와}\quad y=-2x-1. \end{aligned}(y−α2)간단히 하면, y따라서 (1,−3) 이 접선 위에 있으면−3⟺0⟺0⟺α따라서 접선 y=(2α)x−α2 은y=2α(x−α)=(2α)x−α2=(2α)(1)−α2=α2−2α−3=(α−3)(α+1)=3,또는α=−1.=6x−9와y=−2x−1. 이다. 이 문제로 이어서 풀기 # 도함수의 뜻계산●●●보통자동 분류