빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

도함수의 뜻

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.2절 · 26번우리말 번역

점 (1,−3)(1,-3) 을 지나고 곡선 y=x2y = x^2 에 접하는 서로 다른 직선이 두 개 있습니다. 이 두 직선의 방정식을 구하세요.

참고: 점 (1,−3)(1,-3) 은 곡선 y=x2y=x^2 위에 있지 않습니다.

영어 원문 보기

There are two distinct straight lines that pass through the point (1,−3)(1,-3) and are tangent to the curve y=x2y = x^2. Find equations for these two lines.

Remark: the point (1,−3)(1,-3) does not lie on the curve y=x2y=x^2.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

y′=2xy'=2x 임을 안다. 따라서 곡선 y=x2y=x^2 위의 점 (α,α2)(\alpha,\alpha^2) 을 택하면, 그 점에서 곡선의 접선의 기울기는 2α2\alpha 이다. 즉, 접선의 방정식은

(y−α2)=2α(x−α)간단히 하면, y=(2α)x−α2따라서 (1,−3) 이 접선 위에 있으면−3=(2α)(1)−α2  ⟺  0=α2−2α−3  ⟺  0=(α−3)(α+1)  ⟺  α=3,또는α=−1.따라서 접선 y=(2α)x−α2 은y=6x−9와y=−2x−1.\begin{aligned} (y-\alpha^2)&=2\alpha(x-\alpha)\\ \text{간단히 하면, } \qquad y&=(2\alpha)x-\alpha^2 \\ \text{따라서 $(1,-3)$ 이 접선 위에 있으면} \\ -3&=(2\alpha)(1)-\alpha^2\\ \iff\qquad 0&=\alpha^2-2\alpha-3\\ \iff\qquad 0&=(\alpha-3)(\alpha+1)\\ \iff\qquad \alpha&=3, \quad\text{또는}\qquad \alpha=-1. \\ \text{따라서 접선 $y=(2\alpha)x-\alpha^2$ 은} \\ y&=6x-9 \quad\text{와}\quad y=-2x-1. \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

We know that y′=2xy'=2x. So, if we choose a point (α,α2)(\alpha,\alpha^2) on the curve y=x2y=x^2, then the tangent line to the curve at that point has slope 2α2\alpha. That is, the tangent line has equation

(y−α2)=2α(x−α)simplified, y=(2α)x−α2So, if (1,−3) is on the tangent line, then−3=(2α)(1)−α2  ⟺  0=α2−2α−3  ⟺  0=(α−3)(α+1)  ⟺  α=3,orα=−1.So, the tangent lines y=(2α)x−α2 arey=6x−9andy=−2x−1.\begin{aligned} (y-\alpha^2)&=2\alpha(x-\alpha)\\ \text{simplified, } \qquad y&=(2\alpha)x-\alpha^2 \\ \text{So, if $(1,-3)$ is on the tangent line, then} \\ -3&=(2\alpha)(1)-\alpha^2\\ \iff\qquad 0&=\alpha^2-2\alpha-3\\ \iff\qquad 0&=(\alpha-3)(\alpha+1)\\ \iff\qquad \alpha&=3, \quad\text{or}\qquad \alpha=-1. \\ \text{So, the tangent lines $y=(2\alpha)x-\alpha^2$ are} \\ y&=6x-9 \quad\text{and}\quad y=-2x-1. \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.2절 · 17번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 f(x)=1+xf(x) = \sqrt{1 + x} 일 때 f′(x)f'(x) 를 계산하세요. f′(x)f'(x) 는 어디에서 존재하는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

f(x)f(x) 를 도함수의 정의에 대입한다. 극한값을 구하기 위해 분자의 켤레식을 분모와 분자에 곱한 다음 간단히 한다.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01+x+h−1+xh=lim⁡h→01+x+h−1+xh(1+x+h+1+x1+x+h+1+x)=lim⁡h→0(1+x+h)−(1+x)h(1+x+h+1+x)=lim⁡h→0hh(1+x+h+1+x)=lim⁡h→011+x+h+1+x=11+x+0+1+x=121+x\begin{aligned} f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x+h}-\sqrt{1+x}}{h}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x+h}-\sqrt{1+x}}{h} \left(\frac{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}\right)\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(1+x+h)-(1+x)}{h(\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x})}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h(\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x})}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1+x+0}+\sqrt{1+x}}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \end{aligned}

함수의 정의역은 [−1,∞)[-1,\infty) 이다. 특히 x=−1x=-1 에서 f(x)f(x) 는 정의된다. 그러나 x=−1x=-1 에서 f′(x)f'(x) 는 정의되지 않으므로, f′(x)f'(x) 는 (−1,∞)(-1,\infty) 에서만 존재한다.

참고: lim⁡x→−1+f′(x)=∞\displaystyle \lim_{x \to -1^+}f'(x)=\infty 이므로, 점 x=−1x=-1 에서 f(x)f(x) 의 접선은 접선이 수직이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 도함수의 뜻계산도전자동 분류

「도함수의 뜻」 문제 목록으로