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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

도함수의 뜻

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.2절 · 15번우리말 번역

정의를 이용하여 직접 f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{x^2} 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Compute the derivative of f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{x^2} directly from the definition.

정답·풀이 보기

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01(x+h)2−1x2h=lim⁡h→0x2−(x+h)2(x+h)2x2h=lim⁡h→0−2xh−h2(x+h)2x2h=lim⁡h→0−2x−h(x+h)2x2=−2xx4=−2x3\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2-(x+h)^2}{(x+h)^2x^2h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2xh-h^2}{(x+h)^2x^2h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2x-h}{(x+h)^2x^2}=\frac{-2x}{x^4} =-\frac{2}{x^3} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01(x+h)2−1x2h=lim⁡h→0x2−(x+h)2(x+h)2x2h=lim⁡h→0−2xh−h2(x+h)2x2h=lim⁡h→0−2x−h(x+h)2x2=−2xx4=−2x3\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2-(x+h)^2}{(x+h)^2x^2h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2xh-h^2}{(x+h)^2x^2h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2x-h}{(x+h)^2x^2}=\frac{-2x}{x^4} =-\frac{2}{x^3} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.2절 · 14번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 곡선 f(x)=xlog⁡10(2x+10)f(x)=x\log_{10}(2x+10) 의 x=0x=0 인 점에서의 접선의 기울기를 구하세요.

답 쓰고 채점
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접선의 기울기는 미분계수이다. 항상 사용하는 도함수의 정의를 이용하여 식을 세운다. 이 극한은 일반적인 xx 에 대해서는 구하기 어렵지만 x=0x=0 일 때는 쉽다.

f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0hlog⁡10(2h+10)−0h=lim⁡h→0log⁡10(2h+10)=log⁡10(10)=1\begin{aligned} f'(0)&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h\log_{10}(2h+10)-0}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \log_{10}(2h+10)=\log_{10}(10)=1 \end{aligned}

따라서 접선의 기울기는 1이다.

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