도함수의 뜻 연습문제 — CLP-1 · 2.2절 · 16번

CLP-1 · 2.2절 · 16번우리말 번역

다음 함수가 모든 점에서 미분가능하도록 하는 상수 $a$ , $b$ 의 값을 구하세요.

$\begin{aligned} f(x) = \left\{ \begin{array}{lc} x^2 & x\le 2\\ ax + b & x > 2 \end{array}\right. \end{aligned}$

참고: 교재에서 $x^2$ 과 $ax+b$ 의 도함수는 이미 배웠다. 이 문제에서는 $a$ , $b$ 의 값만 구하면 되고 그 값을 구한 과정을 정당화할 필요는 없으므로, 도함수의 정의를 사용하지 않아도 된다. 그러나 시험에서는 답의 근거를 설명하라고 할 수 있으며, 그 경우에는 도함수의 정의를 이용하여 $f(x)$ 의 두 부분을 각각 어떻게 미분하는지 보여야 한다.

영어 원문 보기

Find the values of the constants $a$ and $b$ for which

$\begin{aligned} f(x) = \left\{ \begin{array}{lc} x^2 & x\le 2\\ ax + b & x > 2 \end{array}\right. \end{aligned}$

is differentiable everywhere.

Remark: In the text, you have already learned the derivatives of $x^2$ and $ax+b$ . In this question, you are only asked to find the values of $a$ and $b$ —not to justify how you got them—so you don't have to use the definition of the derivative. However, on an exam, you might be asked to justify your answer, in which case you would show how to differentiate the two branches of $f(x)$ using the definition of a derivative.

정답·풀이 보기

$x$ 가 2가 아닐 때 이 함수는 미분가능하므로, 따져 보아야 할 곳은 $x$ 가 정확히 2일 때뿐이다.

$f$ 가 $x=2$ 에서 미분가능하려면 $x=2$ 에서 연속이기도 해야 한다. 따라서 $x^2\big|_{x=2}=\big[ax+b\big]_{x=2}$ 이므로 $2a+b=4$ 이다.

극한이 존재하려면 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같아야 한다. 미분계수는 극한이므로, $f$ 가 $x=2$ 에서 미분가능하려면 $x=2$ 에서 $ax+b$ 의 좌미분계수가 $x=2$ 에서 $x^2$ 의 우미분계수와 같아야 한다. $ax+b$ 는 직선이므로 그 도함수는 어디에서나 $a$ 이다. 이미 $x^2$ 의 도함수가 $2x$ 임을 알고 있으므로 $a=2x\big|_{x=2}=4$ 이어야 한다.

따라서 $f$ 가 모든 점에서 미분가능하도록 하는 $a$ , $b$ 의 값은 $a=4$ , $b=-4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

When $x$ is not equal to 2, then the function is differentiable– the only place we have to worry about is when $x$ is exactly 2.

In order for $f$ to be differentiable at $x=2$ , it must also be continuous at $x=2$ . This forces $x^2\big|_{x=2}=\big[ax+b\big]_{x=2}$ or $2a+b=4.$

In order for a limit to exist, the left- and right-hand limits must exist and be equal to each other. Since a derivative is a limit, in order for $f$ to be differentiable at $x=2$ , the left hand derivative of $ax+b$ at $x=2$ must be the same as the right hand derivative of $x^2$ at $x=2$ . Since $ax+b$ is a line, its derivative is $a$ everywhere. We've already seen the derivative of $x^2$ is $2x$ , so we need $a=2x\big|_{x=2}=4.$

So, the values of $a$ and $b$ that makes $f$ differentiable everywhere are $a=4$ and $b=-4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.2절 · 15번우리말 번역

정의를 이용하여 직접 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ 의 도함수를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2-(x+h)^2}{(x+h)^2x^2h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2xh-h^2}{(x+h)^2x^2h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2x-h}{(x+h)^2x^2}=\frac{-2x}{x^4} =-\frac{2}{x^3} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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