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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

도함수의 뜻

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.2절 · 17번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 f(x)=1+xf(x) = \sqrt{1 + x} 일 때 f′(x)f'(x) 를 계산하세요. f′(x)f'(x) 는 어디에서 존재하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to compute f′(x)f'(x) if f(x)=1+xf(x) = \sqrt{1 + x}. Where does f′(x)f'(x) exist?

정답·풀이 보기

f(x)f(x) 를 도함수의 정의에 대입한다. 극한값을 구하기 위해 분자의 켤레식을 분모와 분자에 곱한 다음 간단히 한다.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01+x+h−1+xh=lim⁡h→01+x+h−1+xh(1+x+h+1+x1+x+h+1+x)=lim⁡h→0(1+x+h)−(1+x)h(1+x+h+1+x)=lim⁡h→0hh(1+x+h+1+x)=lim⁡h→011+x+h+1+x=11+x+0+1+x=121+x\begin{aligned} f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x+h}-\sqrt{1+x}}{h}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x+h}-\sqrt{1+x}}{h} \left(\frac{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}\right)\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(1+x+h)-(1+x)}{h(\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x})}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h(\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x})}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1+x+0}+\sqrt{1+x}}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \end{aligned}

함수의 정의역은 [−1,∞)[-1,\infty) 이다. 특히 x=−1x=-1 에서 f(x)f(x) 는 정의된다. 그러나 x=−1x=-1 에서 f′(x)f'(x) 는 정의되지 않으므로, f′(x)f'(x) 는 (−1,∞)(-1,\infty) 에서만 존재한다.

참고: lim⁡x→−1+f′(x)=∞\displaystyle \lim_{x \to -1^+}f'(x)=\infty 이므로, 점 x=−1x=-1 에서 f(x)f(x) 의 접선은 접선이 수직이다.

원본 교재 풀이(영어)

We plug in f(x)f(x) to the definition of a derivative. To evaluate the limit, we multiply and divide by the conjugate of the numerator, then simplify.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01+x+h−1+xh=lim⁡h→01+x+h−1+xh(1+x+h+1+x1+x+h+1+x)=lim⁡h→0(1+x+h)−(1+x)h(1+x+h+1+x)=lim⁡h→0hh(1+x+h+1+x)=lim⁡h→011+x+h+1+x=11+x+0+1+x=121+x\begin{aligned} f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x+h}-\sqrt{1+x}}{h}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x+h}-\sqrt{1+x}}{h} \left(\frac{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}\right)\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(1+x+h)-(1+x)}{h(\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x})}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h(\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x})}\\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+x+h}+\sqrt{1+x}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1+x+0}+\sqrt{1+x}}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \end{aligned}

The domain of the function is [−1,∞)[-1,\infty). In particular, f(x)f(x) is defined when x=−1x=-1. However, f′(x)f'(x) is not defined when x=−1x=-1, so f′(x)f'(x) only exists over (−1,∞)(-1,\infty).

Remark: lim⁡x→−1+f′(x)=∞\displaystyle \lim_{x \to -1^+}f'(x)=\infty, so the tangent line to f(x)f(x) at the point x=−1x=-1 has a vertical slope.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.2절 · 16번우리말 번역

다음 함수가 모든 점에서 미분가능하도록 하는 상수 aa, bb의 값을 구하세요.

f(x)={x2x≤2ax+bx>2\begin{aligned} f(x) = \left\{ \begin{array}{lc} x^2 & x\le 2\\ ax + b & x > 2 \end{array}\right. \end{aligned}

참고: 교재에서 x2x^2 과 ax+bax+b 의 도함수는 이미 배웠다. 이 문제에서는 aa, bb 의 값만 구하면 되고 그 값을 구한 과정을 정당화할 필요는 없으므로, 도함수의 정의를 사용하지 않아도 된다. 그러나 시험에서는 답의 근거를 설명하라고 할 수 있으며, 그 경우에는 도함수의 정의를 이용하여 f(x)f(x) 의 두 부분을 각각 어떻게 미분하는지 보여야 한다.

다 풀었으면 정답 확인

xx 가 2가 아닐 때 이 함수는 미분가능하므로, 따져 보아야 할 곳은 xx 가 정확히 2일 때뿐이다.

ff 가 x=2x=2 에서 미분가능하려면 x=2x=2 에서 연속이기도 해야 한다. 따라서 x2∣x=2=[ax+b]x=2x^2\big|_{x=2}=\big[ax+b\big]_{x=2} 이므로 2a+b=42a+b=4 이다.

극한이 존재하려면 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같아야 한다. 미분계수는 극한이므로, ff 가 x=2x=2 에서 미분가능하려면 x=2x=2 에서 ax+bax+b 의 좌미분계수가 x=2x=2 에서 x2x^2 의 우미분계수와 같아야 한다. ax+bax+b 는 직선이므로 그 도함수는 어디에서나 aa 이다. 이미 x2x^2 의 도함수가 2x2x 임을 알고 있으므로 a=2x∣x=2=4a=2x\big|_{x=2}=4 이어야 한다.

따라서 ff 가 모든 점에서 미분가능하도록 하는 aa, bb 의 값은 a=4a=4, b=−4b=-4 이다.

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