다항함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.4절 · 7번

CLP-1 · 2.4절 · 7번우리말 번역

$y=x^3$ 의 그래프에 대하여 $x=\dfrac{1}{2}$ 에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the equation of the tangent line to the graph of $y=x^3$ at $x=\dfrac{1}{2}$ .

정답·풀이 보기

이미 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x=1$ 이고 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2=2x$ 임을 알고 있으므로, $x^3=(x)(x^2)$ 으로 쓰면 $x^3$ 의 도함수를 구할 수 있다.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^3 =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (x)(x^2) = (1)(x^2)+(x)(2x)=3x^2$

이를 $x=\frac{1}{2}$ 에서 계산하면 $\frac{3}{4}$ 을 얻는다. 또한 $\left( \frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$ 이므로, 접선의 방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} y - \frac{1}{8} = \frac{3}{4}\cdot \left(x-\frac{1}{2}\right). \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We already know that $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x=1$ and $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2=2x$ , so we can compute the derivative of $x^3$ by writing $x^3=(x)(x^2)$ ,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^3 =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (x)(x^2) = (1)(x^2)+(x)(2x)=3x^2$

When this is evaluated at $x=\frac{1}{2}$ we get $\frac{3}{4}$ . Since we also compute $\left( \frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$ , the equation of the tangent line is

$\begin{aligned} y - \frac{1}{8} = \frac{3}{4}\cdot \left(x-\frac{1}{2}\right). \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.4절 · 17번우리말 번역

$f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$ 를 몫의 미분법으로 미분한 결과가, $f(x)=\dfrac{g(x)}{k(x)}\cdot\dfrac{k(x)}{h(x)}$ 를 곱의 미분법과 몫의 미분법으로 미분한 결과와 같음을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\begin{aligned} \\ \text{First expression, $f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$:} \\ f'(x)&=\frac{h(x)g'(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)} \\ \text{Second expresson, $f(x)=\dfrac{g(x)}{k(x)}\cdot\dfrac{k(x)}{h(x)}$:} \\ f'(x)&=\left(\frac{k(x)g'(x)-g(x)k'(x)}{k^2(x)}\right)\left(\frac{k(x)}{h(x)}\right)+\left(\frac{g(x)}{k(x)}\right)\left(\frac{h(x)k'(x)-k(x)h'(x)}{h^2(x)}\right)\\ &=\frac{k(x)g'(x)-g(x)k'(x)}{k(x)h(x)}+ \frac{g(x)h(x)k'(x)-g(x)k(x)h'(x)}{k(x)h^2(x)}\\ &=\frac{h(x)k(x)g'(x)-h(x)g(x)k'(x)}{k(x)h^2(x)}+ \frac{g(x)h(x)k'(x)-g(x)k(x)h'(x)}{k(x)h^2(x)}\\ &=\frac{h(x)k(x)g'(x)-h(x)g(x)k'(x)+g(x)h(x)k'(x)-g(x)k(x)h'(x)}{k(x)h^2(x)}\\ &=\frac{h(x)k(x)g'(x)-g(x)k(x)h'(x)}{k(x)h^2(x)}\\ &=\frac{h(x)g'(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)} \\ \text{and this is exactly what we got from differentiating the first expression.} \\ \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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