다항함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.4절 · 14번

CLP-1 · 2.4절 · 14번우리말 번역

극한을 미분계수로 해석하여 $\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\left( \dfrac{\sqrt{100180+y}-\sqrt{100180}}{y}\right)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\left( \dfrac{\sqrt{100180+y}-\sqrt{100180}}{y}\right)$ by interpreting the limit as a derivative.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이 극한은 함수 $f(x)=\sqrt{x}$ 의 $x=100180$ 에서의 미분계수를 나타낸다. $f(x)$ 의 도함수가 $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ 이므로, $x=100180$ 에서의 값은 정확히 $\dfrac{1}{2\sqrt{100180}}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This limit represents the derivative computed at $x=100180$ of the function $f(x)=\sqrt{x}$ . Since the derivative of $f(x)$ is $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , then its value at $x=100180$ is exactly $\dfrac{1}{2\sqrt{100180}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.4절 · 7번우리말 번역

$y=x^3$ 의 그래프에 대하여 $x=\dfrac{1}{2}$ 에서의 접선의 방정식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이미 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x=1$ 이고 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2=2x$ 임을 알고 있으므로, $x^3=(x)(x^2)$ 으로 쓰면 $x^3$ 의 도함수를 구할 수 있다.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^3 =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (x)(x^2) = (1)(x^2)+(x)(2x)=3x^2$

이를 $x=\frac{1}{2}$ 에서 계산하면 $\frac{3}{4}$ 을 얻는다. 또한 $\left( \frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$ 이므로, 접선의 방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} y - \frac{1}{8} = \frac{3}{4}\cdot \left(x-\frac{1}{2}\right). \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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