다항함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.4절 · 15번

CLP-1 · 2.4절 · 15번우리말 번역

직사각형이 커지고 있습니다. 시각 $t=0$ 일 때 이 직사각형은 한 변의 길이가 1미터인 정사각형입니다. 가로의 길이는 초당 2미터의 일정한 비율로 증가하고, 세로의 길이는 초당 5미터의 일정한 비율로 증가합니다. 시각 $t>0$ 일 때 이 직사각형의 넓이는 얼마나 빠르게 증가하고 있는지 구하세요.

영어 원문 보기

A rectangle is growing. At time $t=0$ , it is a square with side length 1 metre. Its width increases at a constant rate of 2 metres per second, and its length increases at a constant rate of 5 metres per second. How fast is its area increasing at time $t>0$ ?

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m²/s

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$w(t)$ 와 $l(t)$ 을 각각 직사각형의 가로와 세로의 길이라고 하자. 문제에서 $w'(t)=2$ 이고 $l'(t)=5$ 로 주어졌다. 두 함수의 기울기가 모두 상수이므로 두 함수는 모두 직선이다. 기울기는 주어져 있고 절편은 $w(0)=l(0)=1$ 이다. 따라서 $w(t)=2t+1$ 이고 $l(t)=5t+1$ 이다.

직사각형의 넓이는 $A(t)=w(t)\cdot l(t)$ 이므로, 곱의 미분법을 이용하면 넓이가 증가하는 비율은 $A'(t)=w'(t)l(t)+w(t)l'(t)=2(5t+1)+5(2t+1)=20t+7$ 제곱미터/초이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $w(t)$ and $l(t)$ be the width and length of the rectangle. Given in the problem is that $w'(t)=2$ and $l'(t)=5$ . Since both functions have constant slopes, both must be lines. Their slopes are given, and their intercepts are $w(0)=l(0)=1$ . So, $w(t)=2t+1$ and $l(t)=5t+1$ .

The area of the rectangle is $A(t)=w(t)\cdot l(t)$ , so using the product rule, the rate at which the area is increasing is $A'(t)=w'(t)l(t)+w(t)l'(t)=2(5t+1)+5(2t+1)=20t+7$ square metres per second.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.4절 · 14번우리말 번역

극한을 미분계수로 해석하여 $\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\left( \dfrac{\sqrt{100180+y}-\sqrt{100180}}{y}\right)$ 의 값을 구하세요.

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이 극한은 함수 $f(x)=\sqrt{x}$ 의 $x=100180$ 에서의 미분계수를 나타낸다. $f(x)$ 의 도함수가 $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ 이므로, $x=100180$ 에서의 값은 정확히 $\dfrac{1}{2\sqrt{100180}}$ 이다.

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