다항함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.4절 · 16번

CLP-1 · 2.4절 · 16번우리말 번역

어떤 미분가능한 함수 $g(x)$ 에 대해 $f(x)=x^2g(x)$ 라 하자. $f'(0)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=x^2g(x)$ for some differentiable function $g(x)$ . What is $f'(0)$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

곱의 미분법을 쓰면 $f'(x)=(2x)g(x)+x^2g'(x)$ 이므로 $f'(0)=0\cdot g(x)+0\cdot g'(x)=0$ 이다. ( $g$ 가 미분가능하므로 $g'$ 가 존재한다.)

원본 교재 풀이(영어)

Using the product rule, $f'(x)=(2x)g(x)+x^2g'(x)$ , so $f'(0)=0\cdot g(x)+0\cdot g'(x)=0$ . (Since $g$ is differentiable, $g'$ exists.)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.4절 · 13번우리말 번역

곡선 $y=3x^2$ 위의 점 중에서 접선이 $(2,9)$ 를 지나는 점을 모두 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

이미 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2=2x$ 임을 알고 있다. 따라서 $y=3x^2$ 의 $x=a$ 에서의 기울기는 $6a$ 이다. $y=3x^2$ 의 $x=a, y=3a^2$ 에서의 접선은 $y-3a^2=6a(x-a)$ 이다. 이 접선이 $(2,9)$ 를 지나는 경우는 다음과 같다.

$\begin{aligned} 9-3a^2&=6a(2-a)\\ 3a^2-12a+9&=0\\ a^2-4a+3&=0\\ (a-3)(a-1)&=0\\ \implies~~a&=1,3 \end{aligned}$

구하는 점은 $(1,3),\ (3,27)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 다항함수의 미분법계산도전자동 분류