다항함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.6절 · 1번

CLP-1 · 2.6절 · 1번우리말 번역

다음 계산에서 틀린 곳을 찾아 바로잡으세요.

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1)+2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{x+1} \end{aligned}$

영어 원문 보기

Spot and correct the error(s) in the following calculation.

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1)+2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{x+1} \end{aligned}$

정답·풀이 보기

몫의 미분법에서는 덧셈이 아니라 뺄셈이 들어간다. 또한 $2(x+1)+2x$ 는 $2(x+1)$ 과 같지 않다.

올바른 계산은 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1) -2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{(x+1)^2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

In the quotient rule, there is a minus, not a plus. Also, $2(x+1)+2x$ is not the same as $2(x+1)$ .

The correct version is:

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1) -2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{(x+1)^2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.6절 · 15번우리말 번역

$f(x)=\dfrac{(x^2+5x+1)(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}{x}$ 을 미분하세요.

다 풀었으면 정답 확인

몫의 미분법을 피하기 위해 분모로 나누어 식을 정리할 수 있다.

$\begin{aligned} f(x)&=\dfrac{(x^2+5x+1)(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}{x} =(x^2+5x+1)\dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}{x}\\ &=(x^2+5x+1)(x^{-1/2}+x^{-2/3}) \\ \text{이제, 곱의 미분법:} \\ f'(x)&=(2x+5)(x^{-1/2}+x^{-2/3})+(x^2+5x+1)\left(\frac{-1}{2}x^{-3/2}-\frac{2}{3}x^{-5/3}\right) \end{aligned}$

(다르게 간단히 했거나 몫의 미분법을 사용했다면 아마 다른 모양의 답을 얻었을 것이다. 그러나 도함수는 하나뿐이므로, 올바른 답은 모두 충분히 식을 정리하면 같은 모양이 된다.)

이 문제로 이어서 풀기

# 다항함수의 미분법계산기본자동 분류