다항함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.6절 · 15번

CLP-1 · 2.6절 · 15번우리말 번역

$f(x)=\dfrac{(x^2+5x+1)(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}{x}$ 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)=\dfrac{(x^2+5x+1)(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}{x}$ .

정답·풀이 보기

몫의 미분법을 피하기 위해 분모로 나누어 식을 정리할 수 있다.

$\begin{aligned} f(x)&=\dfrac{(x^2+5x+1)(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}{x} =(x^2+5x+1)\dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}{x}\\ &=(x^2+5x+1)(x^{-1/2}+x^{-2/3}) \\ \text{이제, 곱의 미분법:} \\ f'(x)&=(2x+5)(x^{-1/2}+x^{-2/3})+(x^2+5x+1)\left(\frac{-1}{2}x^{-3/2}-\frac{2}{3}x^{-5/3}\right) \end{aligned}$

(다르게 간단히 했거나 몫의 미분법을 사용했다면 아마 다른 모양의 답을 얻었을 것이다. 그러나 도함수는 하나뿐이므로, 올바른 답은 모두 충분히 식을 정리하면 같은 모양이 된다.)

원본 교재 풀이(영어)

To avoid the quotient rule, we can divide through the denominator:

$\begin{aligned} f(x)&=\dfrac{(x^2+5x+1)(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}{x} =(x^2+5x+1)\dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}{x}\\ &=(x^2+5x+1)(x^{-1/2}+x^{-2/3}) \\ \text{Now, product rule:} \\ f'(x)&=(2x+5)(x^{-1/2}+x^{-2/3})+(x^2+5x+1)\left(\frac{-1}{2}x^{-3/2}-\frac{2}{3}x^{-5/3}\right) \end{aligned}$

(If you simplified differently, or used the quotient rule, you probably came up with a different-looking answer. There is only one derivative, though, so all correct answers will look the same after sufficient algebraic manipulation.)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.6절 · 14번우리말 번역

$f(x)=\left(3\sqrt[5]{x}+15\sqrt[3]{x}+8\right)\left(3x^2+8x-5\right)$ 을 미분하세요.

다 풀었으면 정답 확인

곱의 미분법을 쓰는 것이 전개하는 것보다 빠른 것 같다.

$\begin{aligned} f'(x)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{3\sqrt[5]{x}+15\sqrt[3]{x}+8\right\}\left(3x^2+8x-5\right)+ \left(3\sqrt[5]{x}+15\sqrt[3]{x}+8\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{3x^2+8x-5\right\}\\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{3{x}^{\frac{1}{5}}+15{x}^{\frac{1}{3}}+8\right\}\left(3x^2+8x-5\right)+ \left(3\sqrt[5]{x}+15\sqrt[3]{x}+8\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{3x^2+8x-5\right\}\\ &=\left(\frac{3}{5}{x}^{\frac{-4}{5}}+5{x}^{\frac{-2}{3}}\right)\left(3x^2+8x-5\right)+ \left(3\sqrt[5]{x}+15\sqrt[3]{x}+8\right)\left(6x+8\right) \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 다항함수의 미분법계산보통자동 분류